在市场竞争中, 企业为提升自身竞争力, 会选择多个项目进行组合.上下游是一类重要的组合方式.在同一个产业链上, 上游项目为下游项目提供资源, 下游项目为上游项目提供市场, 上下游项目期望通过组合实现扩大市场、提升技术以及降低风险等目标.1975年Baker[1]等首次提出项目间的交互效应, 认为若不考虑项目间的交互效应, 会使项目组合选择模型具有相当大的局限性.随后Eilat、Amir等[2-3]构建了交互效应下的投资、IT类组合项目模型, 进而选出最佳的组合项目.刘亚旭[4]等研究了具有不对称风险交互效应的项目组合选择问题, 通过风险关联度刻画项目组合的交互效应风险.杜先进[5]等提出不确定条件下的R & D项目组合选择优化模型.赵静[6-7]等基于交互效应角度研究单项目风险到项目组合风险的变化, 并在交互效应基础上, 建立了项目组合选择优化模型, 将项目间交互风险定量化.杜鹃等[8-10]通过构建项目组合交互效应网络, 探讨项目组合风险层级之间的关联, 并根据复杂系统的脆性理论, 分析交互效应所构成的项目间的交互耦合结构是项目组合脆性风险的内因.可见交互效应对组合风险的影响不能忽略.
何鹏等[11]提出企业为了达到总风险最小、利益最大的目标, 会将上下游项目组合, 下游项目必须尽最大可能接受上游项目的风险.因此组合后上游项目的风险传递到下游, 使得上游项目风险略有减少, 下游项目风险略有增加.但其仅定性的刻画上下游项目组合风险, 且局限于单时点.郭鹏[12]等揭示了项目组合与生物种群间的相似属性, 构建了竞争型项目组合风险决策模型.郑唯唯等[13]根据项目组合风险系统与生态系统的相似性, 构建了互惠型项目组合风险模型.本文类比上下游项目组合可靠性与捕食系统[14-16]的相似属性, 根据风险与可靠性的0-1关系, 用可靠性程度刻画风险, 考虑项目间交互效应的时滞因素, 构建交互效应下具有时滞的上下游项目组合风险系统, 用捕食系统相关理论, 分析组合风险的稳定性, 实现风险的实时刻画, 并研究时间滞后对组合风险的影响.
1 系统模型构建设x(t), y(t) (0≤x(t), y(t)≤1)分别表示t时刻上、下游项目的可靠性程度.具体假设如下:
(1) 可靠性假设 r1表示主要因素引起的上游项目可靠性程度变化的综合因子, m表示其他次要因素引起的可靠性程度变化的综合因子, r2表示下游项目的可靠性程度增长因子与风险增长因子的差值, 假设组合前上游项目的可靠性程度的变化率为负值.
(2) 交互效应假设[12] 假设σ12表示下游项目对上游项目的可靠性影响系数, σ21表示上游项目对下游项目的可靠性影响系数.一般情况下交互效应是不对称的, 即σ12≠σ21.
(3) 时间滞后假设 假设τ表示两项目间交互效应的滞后时间.
(4) 饱和程度假设[12] K2表示下游项目的可靠性程度饱和值.
(5) 风险关系假设 由于上下游项目间风险具有传递性, 组合后上游项目的风险传递到下游, 使得上游项目的风险减少, 下游项目的风险增加.即上游项目可靠性程度增加, 下游项目可靠性程度略有减小.
项目组合的总风险程度[12]为
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(1) |
其中λ∈(0, 1)表示上游项目的总风险占比.
依此构建如下具有时滞的项目组合风险系统
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(2) |
考虑到可靠性程度的特征, 因此仅在区域Ω={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤1}内讨论.
2 系统模型的平衡点及其性态为叙述方便, 对如下条件进行编号
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引理1 当H1, H2, H3成立时, 系统(2)在Ω区域内有唯一的正平衡点M*(x*, y*).其中
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将正平衡点移到原点, 可得系统(2)在M*(x*, y*)的线性化系统为
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(3) |
系统(2)在M*(x*, y*)的特征方程为
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(4) |
其中
定理1 当τ≠0且H1, H2, H3成立时, 若H4成立, 则正平衡点M*是局部渐近稳定的; 若H5成立, 则方程(4)有唯一一对纯虚根.
证明设τ≠0时, 特征方程(4)有纯虚根λ=iw0(w0>0), 代入式(4)可得
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分离实部与虚部并对等式两边平方相加得
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(5) |
且有
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当系统参数满足H4时, p12-2p0>0, p02-q12>0, 由Hurwitz判据可知, 方程(5)没有正根, 特征方程(4)的所有根均具有负实部.即当H1, H2, H3, H4成立时, 正平衡点M*是局部渐近稳定的.
当系统参数满足H5时, p12-2p0>0, p02-q12 < 0.因此存在唯一正根w0满足方程(4), 即方程(4)有唯一一对纯虚根±iw0.从方程(5)中可解出
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可记τn为如下形式
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证毕.
因此当交互效应有时滞且H1, H2, H3成立时, 若系统参数满足H4, 时滞不影响项目组合可靠性程度的稳定性, 即项目组合风险是稳定的; 若系统参数满足H5, 时滞使得项目组合的可靠性程度不稳定, 即组合风险不稳定.
定理2 当τ≠0时, 若H1, H2, H3, H5成立, 对系统(2)有
(1) 当τ∈[0, τ0)时, 系统(2)在M*处是局部稳定的;
(2) 当τ=τn (n=0, 1, 2, …)时, 系统(2)在M*处产生了Hopf分支;
(3) 当τ>τ0时, 系统(2)在M*处是不稳定的.
其中
证明 当H1, H2, H3, H5成立时, 对式(4)左右两边关于τ求导, 可得到
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从上式解出
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又
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将定理1, 2应用到系统(2), 满足Hopf分支的条件[17], 因此若H1, H2, H3, H5成立, 当τ∈[0, τ0)时, M*是局部稳定的; 当τ>τ0时, M*是不稳定的.当τ=τn (n=0, 1, 2, …)时, 系统(2)在M*处产生了Hopf分支.
因此系统(2)存在一个临界的τ值是项目组合可靠性程度稳定与不稳定的界限, 也是组合风险稳定与不稳定的界限.
3 系统模型的稳定性引理2 若H1成立, 则对于系统(2)的任意解, 存在T>0, 当t>T时
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证明 由系统(2)的第2个方程有
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因此存在T1>0, 当t>T1时, y(t)≤K2.
由系统(2)的第1个方程有
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当H1:σ12K2-r1>0成立时, 存在T2>0, 当t>T2时, 有
即存在T=max{T1, T2}, 当t>T时, 
定理3 当τ≠0时, 若H1, H2, H3, H4成立, 则正平衡点M*是全局渐近稳定的.
证明取V11=|lnx(t)-lnx*|, 将V11沿系统(2)关于t求导得
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取
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取
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同理取V21=|lny(t)-lny*|, 将V21沿系统(2)关于t求导得
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取
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取
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综上所述, 取Lyapunov泛函
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设
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因此|x(t)-x*|+|y(t)-y*|在[0, +∞)上可积, 且x(t), y(t)在[0, 1]上有界, 于是利用不等式及微分中值定理, 可得|x(t)-x*|+|y(t)-y*|在[0, 1]上是一致连续的.由Barbalat引理, 得出
因此当上下游项目的交互效应存在时滞时, 若参数满足H1, H2, H3, H4, 则项目组合的可靠性程度最终稳定在正平衡点M*, 即项目组合的总风险是全局稳定的.
4 数值模拟(1) 当τ≠0时, 根据定理3取参数r1=0.2, r2=0.4, m=0.21, σ12=0.42, σ21=0.11, K2=0.9, 则系统(2)可改写为
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此时系统(2)有唯一正平衡点M*(0.567 3, 0.760 1), 由定理3可知, 无论τ取何值, 系统(2)的正平衡点总是渐近稳定的, 图 1是τ取5时所得的解曲线图, 显示出此时系统是稳定的.
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| 图 1 τ=5时的解曲线图 Fig.1 Solutions graph of τ=5 |
当λ1=0.4时, 由式(1)得项目组合的总风险稳定在R=0.317 0.组合前项目风险的叠加值为R1=0.4.显然有R < R1, 因此上下游项目组合后, 使得下游项目有效地用到上游项目的资源, 同时上游项目的风险得以减少, 最终实现组合总风险减少的目标.
(2) 当τ≠0时, 根据定理2取参数r1=0.2, r2=0.4, m=0.21, σ12=0.6, σ21=0.2, K2=0.9.则系统(2)可写为
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该系统的正平衡点为M*(0.708 3, 0.581 3), 并且
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由定理2可知当τ>τ0时项目组合的可靠性程度不再稳定, 即项目风险不稳定.图 2为当τ=40>τ0时可靠性程度的变化趋势, 即项目风险的变化趋势.
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| 图 2 τ=40时的解曲线图 Fig.2 Solutions graph of τ=40 |
构建了交互效应下具有时滞的上下游项目组合风险系统模型, 分析了时间滞后、交互效应等因素对组合风险的影响, 根据定理3得到当时间滞后存在时, 系统(2)的正平衡点达到全局稳定的充分条件, 进而得到了组合风险趋于稳定的充分条件, 使得管理者能较为准确的把握两项目组合的滞后时间, 更加有效地把控风险.由定理2可知, 当参数满足H1, H2, H3, H5时, 系统存在一个临界的τ值, 是组合风险稳定与不稳定的界限, 管理者可定量分析当时间滞后超过一定界限时, 项目风险的变化趋势.因此项目管理者在进行项目组合时, 需注意参数的取值范围, 使得组合风险达到稳定的最佳状态, 避免时滞超过临界τ值对企业造成不利的后果.
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