0 引言

当前期权渐渐吸引了国内外许多投资人的眼球, 其定价也越来越引起人们的重视.因此学者们也对不同期权进行了研究, 文献[1-3]分别讨论了重置期权、回望期权、亚式期权的定价问题.现汇率连动期权作为期权的一种, 是进行全球投资的一种金融期权形式, 不仅依赖于外国股票的价格, 而且依赖汇率变化.因为标的资产和汇率的变动都是随机过程, 定价比较困难, 所以许多学者对此期权也进行了研究.迄今为止, 有关汇率连动期权的研究也有许多, 文献[4-12]主要利用鞅和保险精算等方法讨论了布朗运动环境下有关汇率连动期权定价模型, 并给出了相应的定价公式，以上学者是在布朗运动环境下研究的此期权.然而, 分数布朗运动具有较好的“厚尾”和长程依赖特性, 可用分数布朗运动取代标准布朗运动.文献[13-14]利用不同的方法讨论了标的资产服从分数布朗运动下汇率期权定价问题.但是近年来研究发现双分数布朗运动没有独立性和平稳性, 使用范围比较广, 即可描述平稳又可描述不平稳的现象, 是比分数运动更一般的高斯过程.文献[15]首次提出了双分数布朗运动.随后文献[16-22]基于双分数布朗运动驱动环境下讨论了各种期权定价模型, 结果都优于分数布朗运动环境下的模型.期权定价的方法多种多样, 且适用范围较广, 限制因素较少的是由文献[23]首次提出的保险精算方法.文献[24-25]也讨论了此方法的优点.本文基于双分数布朗运动环境下, 在股价和汇率满足双分数布朗运动驱动的随机微分方程的大前提下, 给出其环境下的金融数学模型, 利用保险精算进行贴现的方法定价了此种期权, 推导出汇率连动期权定价公式.该公式是分数布朗运动环境下汇率连动期权定价公式的推广.不论金融市场处于以上何种情况, 本文给出的汇率连动期权公式都能适用.

1 双分数布朗运动环境下金融市场模型

定义1^[15]  称{B_t^{H, K}, t≥0}, 0 < H < 1, 0 < K≤1, 为双分数布朗运动, {B_t^{H, K}, t≥0}为Gauss过程, 并且

(1) E(B_t^{H, K})=B₀^{H, K}=0;

(2)

K=1时, {B_t^{H, K}, t≥0}退化为含有H的分数布朗运动; 若K=1, H= 时, {B_t^{H, K}, t≥0}退化为标准布朗运动.

假定汇率价格{X_t, t≥0}以及股价{S_t, t≥0}满足如下两个方程

(1)

(2)

其中{B_1t^{H, K}, t≥0}, {B_2t^{H, K}, t≥0}都是在一完备空间(Ω, F, P)上，并且其相关系数为δ, μ₁, σ₁>0, μ₂, σ₂>0分别表示股票价格以及汇率的收益率和波动率.

国外债券价格p_t^f及本国债券价格p_t^d分别满足方程

(3)

(4)

其中国外无风险利率和国内无风险利率分别为r^f和r^d.

引理1^[21]   随机微分方程(1), (2)的解分别为

(5)

(6)

定义2^[21]  价格过程{S_t, t≥0}在[t, T]的期望收益率β_u, u∈[t, T]定义为

引理2^[21]  在概率空间P下, {S_t, t≥0}在[0, T]上的期望收益率为.同理{X_t, t≥0}在[0, T]上的期望收益率为.

2 汇率连动期权定价 2.1 第一种汇率连动期权

第一种汇率连动期权的损益ξ₁=(S_TX_T-k)⁺, 其中T为到期日, k(本国货币)为执行价格.用C₁₀(k, T)表示到期日为T, 执行价格为k的欧式看涨汇率连动期权0时刻的保险精算^[12-14]价格

其中

定理1  具有损益ξ₁=(S_TX_T-k)⁺的汇率连动看涨期权保险精算价格

(7)

其中

N(·)表示标准正态随机变量的分布函数.

证明  首先

令

则A={ξ>-d₁}.从而

其中

同理可求得双分数下汇率连动看跌期权在0时刻的保险精算价格.

2.2 第二种汇率连动期权

第二种汇率连动期权的损益ξ₂=X_T(S_T-k)⁺, 其中T为到期日, k(国外货币)为执行价格.用C₂₀(k, T)表示到期日为T, 执行价格为k的欧式看涨汇率连动期权在0时刻的保险精算价格

其中

定理2   具有损益ξ₂=X_T(S_T-k)⁺的汇率连动看涨期权的保险精算价格.

证明   首先

令

则B={ξ>-d₁}.从而

令

则

同理可求得双分数下汇率连动看跌期权在0时刻的定价公式.

注1   (1)当K=1时, 可得分数布朗运动环境下汇率连动期权定价公式(见文献[7]);

(2) 当K=1, H= 时, 可得布朗运动环境下汇率连动期权定价公式(见文献[4]).

3 结束语

在双分数布朗运动环境下, 给出其金融数学模型.在收益率和波动率为常数的情况下, 利用保险精算进行贴现的方法定价了此种期权, 给出了定价公式, 该公式是分数布朗运动环境下汇率连动期权定价公式的推广.不论金融市场处于以上何种情况, 本文给出的汇率连动期权公式都能适用.另外, 收益率和波动率为随机利率的情形还需进一步讨论.