海森堡群上Kohn-Laplace方程的Orlicz最优正则性
郭欠霞     
山西农业大学 文理学院, 山西 晋中 030801
摘要:通过估计海森堡群上Kohn-Laplace算子在原点的基本解的二阶导数,证明了海森堡群上Kohn-Laplace方程的Orlicz正则性估计中的增长性条件Δ2∩∇2是最优的,从而将欧氏空间中Poisson方程的Orlicz最优正则性结果推广到海森堡群上.
关键词海森堡群     Kohn-Laplace方程     Orlicz空间     正则性    
Optimal Orlicz regularity for Kohn-Laplace equation in the Heisenberg group
GUO Qianxia     
College of Arts and Sciences, Shanxi Agricultural University, Jinzhong 030801, Shanxi, China
Abstract: By estimating the second order derivatives of the fundamental solution of Kohn-Laplace operator in the Heisenberg group at the origin, it is proved that the growth condition Δ2∩∇2 in the Orlicz regularity estimates for the Kohn-Laplace equation in the Heisenberg group is optimal. The optimal Orlicz regularity of Poisson equation in Euclidean space is extended to the Heisenberg group.
Key words: Heisenberg group     Kohn-Laplace equation     Orlicz space     regularity    
0 引言

Orlicz[1]在研究积分方程时, 引入了一个比Lp空间更一般的函数空间, 即Orlicz空间. Orlicz空间理论对偏微分方程、泛函分析、非线性分析和积分方程等研究起了很大作用.王立河等[2]、贾慧莲等[3]和Byun等[4]利用紧性方法, 区域分解方法研究了椭圆方程和抛物方程相应的Orlicz估计[5].特别地, 文献[2]在Young函数φ满足增长性条件Δ2∩∇2下把Possion方程

Lp估计[6]推广到Orlicz估计.另外, 证明了φ满足的增长性条件Δ2∩∇2是最优的, 其中Rn (n≥2)是欧氏空间.

海森堡群[7-8]是一类非平凡的次黎曼流形, 其几何结构与欧氏空间有本质区别.例如, 海森堡群上的基向量场是非交换的.本文研究了海森堡群Hn上Kohn-Laplace方程

(1)

其中ΔHn为Kohn-Laplace算子, 其Lp估计见文献[9-10].在Young函数φ满足增长性条件Δ2∩∇2下, 文献[11]得到了算子ΔHn的Orlicz估计.文献[12-13]分别研究了分层Lie群上非散度椭圆方程和Schrdinger方程的Orlicz估计.文献[14-16]在增长性条件Δ2∩∇2下, 建立群上二阶偏微分方程的Orlicz估计.目前, 还未见文献证明海森堡群上Kohn-Laplace方程的Orlicz估计中的增长性条件Δ2∩∇2是最优的.

为了将文献[2]中的定理1.5的必要性推广到海森堡群上, 即证明增长性条件Δ2∩∇2是最优的.首先通过估计海森堡群上Kohn-Laplace算子在原点的基本解的二阶导数, 证明Young函数φ满足全局∇2条件, 然后利用切断函数构造两个常数, 并结合φ∈∇2得到φ∈Δ2.

1 预备知识和主要结果 1.1 海森堡群

ξ=(z, t)=(x, y, t)∈ R2n+1, 其中x=(x1, x2, …, xn)∈ Rn, y=(y1, y2, …, yn)∈ Rn, nN且显然有zi=xi, zn+i=yi, i=1, 2, …, n. 〈x, y〉表示Rn中通常的内积, 即.海森堡群Hn是在R2n+1上赋予下列群运算“∘”而形成的Lie群.∀ξ, ξ′∈Hn, 群运算“∘”定义为

Hn上的向量场

及其交换子可以张成整个Lie代数, 即Z1, Z2, …, Z2n满足Hörmander有限秩条件[17]. Kohn-Laplace算子ΔHn定义为

(2)

Hn的一个重要的自同构群是由海森堡伸缩δλ(z, t)=(λz, λ2t)给出的, 其中λ>0. Hn的齐次维数为Q=2n+2.令, 若定义d(ξ, ξ′)=d(ξ-1ξ), 则dHn上的距离[14].定义Hn中以x为中心, r为半径的度量球

1.2 海森堡群上的Orlicz空间

记函数类Φ={φ:[0, +∞)→[0, +∞)|φ是单调递增的凸函数}.

定义1[18]  如果函数φΦ, 且

则称φ为Young函数.

定义2[18]   一个Young函数φ称为满足全局Δ2条件, 记为φ∈Δ2, 如果存在常数K>0使得对任意的s>0, 有

由文献[2]可知, 若φ∈Δ2, 对任意的1≤θ2 < ∞, 有

(3)

其中α1=log2K.

定义3[18]  一个Young函数φ称为满足全局∇2条件, 记为φ∈∇2, 如果存在常数a>1使得∀s>0, 有

由文献[2]可知, 若φ∈∇2, ∀0 < θ1≤1, 有

(4)

其中α2=loga2+1.

定义4[18]  设φ是一个Young函数, 海森堡群Hn上的Orlicz类Kφ(Hn)是由满足

的可测函数g:HnR构成的集合.Hn上的Orlicz空间Lφ(Hn)是Orlicz类Kφ(Hn)的线性闭包.在Orlicz空间Lφ(Hn)中, 模定义为

1.3 主要结果

定理1  设Young函数φΦ, 如果对满足方程(1)的(u, f)∈C(HnC0(Hn)且|Z2u|∈Lφ(Hn), 有下式成立:

(5)

φ∈Δ2∩∇2, 其中正常数Cuf无关.

1   文献[11]在φ∈Δ2∩∇2条件下, 得到了估计式(5).

2 定理1的证明

以下分两步来证明定理1.

第一步  证明φ满足全局∇2条件.

fs(ξ)=(ξ), 其中参数s>0, η(ξ)∈C0 (Hn)是切断函数, 且

(6)

由文献[15]可知, ΔHn在原点的基本解为

(7)

其中QHn的齐次维数, CQ是仅依赖于Q的正常数.则由文献[11]可知

(8)

满足方程(1). ξ′=(x′, y′, t′)的逆元ξ-1=(-x′, -y′, -t′), 利用群运算法则得

然后由距离d的定义得

(9)

结合式(6)~(8)得

(10)

由式(5)~(6)得

(11)

其中|B2|表示Hn中半径为2的度量球的Haar测度, |B2|=CQ2Q, CQ是仅依赖于齐次维数Q的正常数.

下面估计Z12 us(ξ).利用式(10)得

(12)

首先计算.由向量场Z1的定义和式(8)得

其中

进一步得

(13)

注意到

以及存在充分大的常数C0>9使得当|x1|>C0时, 有

因此, 对|x1|>C0

由文献[16]知dHn上的距离, 即

(14)

ξΩ, ξ′∈B1, 有

(15)

ξΩ, ξ′∈B2\B1, 有

(16)

所以, 对ξΩ, 利用式(12)~(16), 得

(17)

其中CQ是仅依赖于Q的正常数.

由式(11)和(17), 得

(18)

由式(18)和极坐标变换得

λ=CQsr-Q, 则dλ=-CQQsr-Q-1dr.由上式可知, ∀s>0, 有

(19)

其中.

s2s1>0, 0 < εα/2.在式(19)中取s=s2, 由φ是增函数得

(20)

在式(20)中取s2=λ, s1=εs, 并结合式(19)得

(21)

.则由式(21)得

φ∈∇2.

第二步  证明φ满足全局Δ2条件.

构造如下两个常数:

其中切断函数η(ξ)与式(6)相同.显然C1 < C2.令

, 则us(ξ), fs(ξ)满足方程(1).

由第一步知φ∈∇2.则由式(4)~(5), 得

φ(γs)≤φ(s), 从而φ∈Δ2.

综上所述, φ∈Δ2∩∇2, 即定理1得证.

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西安工程大学、中国纺织服装教育学会主办
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郭欠霞.
GUO Qianxia.
海森堡群上Kohn-Laplace方程的Orlicz最优正则性
Optimal Orlicz regularity for Kohn-Laplace equation in the Heisenberg group
纺织高校基础科学学报, 2017, 30(4): 516-521
Basic Sciences Journal of Textile Universities, 2017, 30(4): 516-521.

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收稿日期: 2017-09-02

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