Orlicz[1]在研究积分方程时, 引入了一个比Lp空间更一般的函数空间, 即Orlicz空间. Orlicz空间理论对偏微分方程、泛函分析、非线性分析和积分方程等研究起了很大作用.王立河等[2]、贾慧莲等[3]和Byun等[4]利用紧性方法, 区域分解方法研究了椭圆方程和抛物方程相应的Orlicz估计[5].特别地, 文献[2]在Young函数φ满足增长性条件Δ2∩∇2下把Possion方程
的Lp估计[6]推广到Orlicz估计.另外, 证明了φ满足的增长性条件Δ2∩∇2是最优的, 其中Rn (n≥2)是欧氏空间.
海森堡群[7-8]是一类非平凡的次黎曼流形, 其几何结构与欧氏空间有本质区别.例如, 海森堡群上的基向量场是非交换的.本文研究了海森堡群Hn上Kohn-Laplace方程
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其中ΔHn为Kohn-Laplace算子, 其Lp估计见文献[9-10].在Young函数φ满足增长性条件Δ2∩∇2下, 文献[11]得到了算子ΔHn的Orlicz估计.文献[12-13]分别研究了分层Lie群上非散度椭圆方程和Schrdinger方程的Orlicz估计.文献[14-16]在增长性条件Δ2∩∇2下, 建立群上二阶偏微分方程的Orlicz估计.目前, 还未见文献证明海森堡群上Kohn-Laplace方程的Orlicz估计中的增长性条件Δ2∩∇2是最优的.
为了将文献[2]中的定理1.5的必要性推广到海森堡群上, 即证明增长性条件Δ2∩∇2是最优的.首先通过估计海森堡群上Kohn-Laplace算子在原点的基本解的二阶导数, 证明Young函数φ满足全局∇2条件, 然后利用切断函数构造两个常数, 并结合φ∈∇2得到φ∈Δ2.
1 预备知识和主要结果 1.1 海森堡群令ξ=(z, t)=(x, y, t)∈ R2n+1, 其中x=(x1, x2, …, xn)∈ Rn, y=(y1, y2, …, yn)∈ Rn, n∈ N且显然有zi=xi, zn+i=yi, i=1, 2, …, n. 〈x, y〉表示Rn中通常的内积, 即
Hn上的向量场
及其交换子可以张成整个Lie代数, 即Z1, Z2, …, Z2n满足Hörmander有限秩条件[17]. Kohn-Laplace算子ΔHn定义为
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Hn的一个重要的自同构群是由海森堡伸缩δλ(z, t)=(λz, λ2t)给出的, 其中λ>0. Hn的齐次维数为Q=2n+2.令
记函数类Φ={φ:[0, +∞)→[0, +∞)|φ是单调递增的凸函数}.
定义1[18] 如果函数φ∈Φ, 且
则称φ为Young函数.
定义2[18] 一个Young函数φ称为满足全局Δ2条件, 记为φ∈Δ2, 如果存在常数K>0使得对任意的s>0, 有
由文献[2]可知, 若φ∈Δ2, 对任意的1≤θ2 < ∞, 有
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其中α1=log2K.
定义3[18] 一个Young函数φ称为满足全局∇2条件, 记为φ∈∇2, 如果存在常数a>1使得∀s>0, 有
由文献[2]可知, 若φ∈∇2, ∀0 < θ1≤1, 有
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其中α2=loga2+1.
定义4[18] 设φ是一个Young函数, 海森堡群Hn上的Orlicz类Kφ(Hn)是由满足
的可测函数g:Hn→ R构成的集合.Hn上的Orlicz空间Lφ(Hn)是Orlicz类Kφ(Hn)的线性闭包.在Orlicz空间Lφ(Hn)中, 模定义为
记
定理1 设Young函数φ∈Φ, 如果对满足方程(1)的(u, f)∈C∞(Hn)×C0∞(Hn)且|Z2u|∈Lφ(Hn), 有下式成立:
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则φ∈Δ2∩∇2, 其中正常数C与u和f无关.
注1 文献[11]在φ∈Δ2∩∇2条件下, 得到了估计式(5).
2 定理1的证明以下分两步来证明定理1.
第一步 证明φ满足全局∇2条件.
令fs(ξ)=sη(ξ), 其中参数s>0, η(ξ)∈C0∞ (Hn)是切断函数, 且
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由文献[15]可知, ΔHn在原点的基本解为
(7) |
其中Q是Hn的齐次维数, CQ是仅依赖于Q的正常数.则由文献[11]可知
(8) |
满足方程(1). ξ′=(x′, y′, t′)的逆元ξ′-1=(-x′, -y′, -t′), 利用群运算法则得
然后由距离d的定义得
(9) |
结合式(6)~(8)得
(10) |
由式(5)~(6)得
(11) |
其中|B2|表示Hn中半径为2的度量球的Haar测度, |B2|=CQ2Q, CQ是仅依赖于齐次维数Q的正常数.
下面估计Z12 us(ξ).利用式(10)得
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首先计算
其中
进一步得
(13) |
注意到
以及存在充分大的常数C0>9使得当|x1|>C0时, 有
因此, 对|x1|>C0有
令
由文献[16]知d是Hn上的距离, 即
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对ξ∈Ω, ξ′∈B1, 有
(15) |
对ξ∈Ω, ξ′∈B2\B1, 有
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所以, 对ξ∈Ω, 利用式(12)~(16), 得
(17) |
其中CQ是仅依赖于Q的正常数.
由式(11)和(17), 得
(18) |
由式(18)和极坐标变换得
令λ=CQsr-Q, 则dλ=-CQQsr-Q-1dr.由上式可知, ∀s>0, 有
(19) |
其中
令s2≥s1>0, 0 < ε≤α/2.在式(19)中取s=s2, 由φ是增函数得
(20) |
在式(20)中取s2=λ, s1=εs, 并结合式(19)得
(21) |
令
即φ∈∇2.
第二步 证明φ满足全局Δ2条件.
构造如下两个常数:
其中切断函数η(ξ)与式(6)相同.显然C1 < C2.令
令
由第一步知φ∈∇2.则由式(4)~(5), 得
即φ(γs)≤φ(s), 从而φ∈Δ2.
综上所述, φ∈Δ2∩∇2, 即定理1得证.
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