1 引言与预备知识

众所周知, 物理系统常常被用来储存、传递、改变信息.不同的系统能够携带不同类型的信息, 经典系统能够携带经典信息, 量子系统能够携带量子信息^[1-2].例如, 无消相干^[3]就能够限制一个量子系统仅仅携带经典信息或什么也不携带.由于量子系统易受到外部噪音的攻击, 所以为了保护系统免受环境噪声的影响, 研究者提出了量子纠错的概念^[4-7].相关研究包括无消相干子空间^[8]和无噪音子体系^[9-11]等.

文献[12]介绍了一些关于无噪音码的理论框架, 文献[13]研究了广义无噪音量子码的应用, 文献[14]给出了无噪音量子码及其对称性计算. Robin等^[15]给出了一个运算框架:信息保护结构, 得到了被量子信道所保护的信息的一种分类.本文在文献[15]的基础上, 进一步研究无噪音量子码的性质, 得到强、弱保护码与无噪音码的关系; 最后, 给出量子系统C²⊗ C²的一个量子信道的弱保护码与无噪音码.

文中用H表示量子系统S的状态空间, 它是一个复Hilbert空间.记B(H)为H上所有有界线性算子构成的C^*-代数, D(H)为H上所有密度算子(迹为1的正算子)之集, 用M_n表示全体n阶复矩阵之集.当dimH=n < ∞时, B(H)可与M_n等同.用tr(A)表示算子A的迹, 定义算子A的1-范数(也称迹范数)为

(1)

从C^*-代数B(H)到B(H)中的完全正保迹线性映射称为量子系统S的量子信道, 也称为D(H)上的一个量子信道.D(H)任一非空子集C称为量子系统S的一个量子码.

2 无噪音量子码

定义1^[15]  设ε为量子系统S的量子信道, C称为量子系统S的一个量子码.若∀ρ∈C, 都有ε(ρ)=ρ, 则称C被ε强保护.

显然, 当C被ε强保护时, 其凸包conv(C)也被ε强保护.

定义2^[15]  设ε为量子系统S的量子信道, C为S的一个量子码.若∀ρ, σ∈C, p∈[0, 1], 都有

(2)

则称C被ε弱保护.

当C被ε弱保护时, 定义d₁(ρ, σ)=1/2‖ρ-σ‖₁, 则得到码C上的一个距离d₁, 称为迹距离.取p=1/2, 由式(2)知∀ρ, σ∈C, 有

由此可见, 在距离d₁下, C与ε(C)等距同构.

显然, 当C被ε强保护时, 它也被ε弱保护; 当C被ε弱保护时, ε(C)也被ε弱保护.

定义3^[15]  设ε为量子系统S的量子信道, C为S的一个量子码.若对任一正整数m, C被量子信道ε, ε², …, ε^m的任意凸组合弱保护, 则称C是ε的无噪音码.

显然, 若C是ε的无噪音码, 则C被ε弱保护(取m=1), 即“无噪音推出弱保护”.

定理1  设A与B为两个量子系统, 其状态空间为H_A与H_B, dim(H_A)=d_A, dim(H_B)=d_B, I_X为H_X上的恒等算子, ε为复合系统AB的量子信道, 且

(3)

则

(1) ε的不动点态之集为;

(2) 对H_B中的任一纯态|0〉(单位向量), 量子码C={ρ_A⊗|0〉〈0|:ρ_A∈D(H_A)}为ε的无噪音码, 从而被ε弱保护;

(3) C_NS:=ε(C)被ε强保护.

证明   (1) ∀X∈B(H_A), Y∈B(H_B), 有

其中.因此, ε=I⊗D.说明量子信道ε对系统A上不作用, 对系统B作退极化运算.

若ρ∈D(H_A⊗H_B), , 则

其中.因此, ε(ρ)=ρ当且仅当.

(2) ∀m∈ N⁺, 记, 则∀τ₁=ρ₁⊗|0〉〈0|_B∈C, τ₂=ρ₂⊗|0〉〈0|_B∈C, p∈[0, 1], 根据定义2, 有

又因为

所以码C被Φ_m弱保护, 由定义3知, C是ε的无噪音码.

(3) 由ε的定义知.因为∀ρ_A∈D(H_A), 有ε(ρ_A⊗|0〉〈0|_B)= , 所以

又因为, 因此, C_NS被ε强保护.证毕.

定理2  设F(ε)为量子信道ε的所有不动点之集, 且ε(C)⊂F(ε), 则C为ε的无噪音码当且仅当码C被ε弱保护.

证明  设为量子信道ε, ε², …, ε^m的任意凸组合, 其中 =1.对任意的ρ, σ∈C, p∈[0, 1], 有εⁿ(ρ)=ε(ρ) (n=1, 2, …, m), 从而

因此, 码C为ε的无噪音码当且仅当码C被ε弱保护.

定理3  设ε为量子信道, C⊂D(H), 则C为ε的无噪音码当且仅当∀λ∈(0, 1), C为ε_λ:=λε+(1-λ)ε²的无噪音码.

证明  充分性:由ε=ε₁可知.

必要性:设C为ε的无噪音码, 则∀λ∈(0, 1), q_n≥0(n=1, 2, …, m)且, 有

由于q_nC_n^kλ^k(1-λ)^n-k≥0且

所以, Φ_m为量子信道ε, ε², …, ε^2m的一个凸组合.因为C为ε的无噪音码, 所以它被Φ_m弱保护.由定义3知C为ε_λ的无噪音码.

定理4   设

则

(1) ε是C²⊗ C²的量子信道, 满足ε(C)⊂F(ε);

(2) C被ε弱保护;

(3) C是ε的无噪音码.

证明  (1)因为

所以, ε是C²⊗ C²的量子信道.容易计算∀ρ, σ∈M₂, 有

因此, ∀q∈[0, 1], 有

进而ε(ε(τ_q))=ε(τ_q).由此可见, ε(C)⊂F(ε).

(2) 设τ_q1, τ_q2∈C, ∀p′∈[0, 1], 则

且

所以

因此, 码C被ε弱保护.

(3) 由于ε(C)⊂F(ε), 根据结论(2)及定理2可知, 码C为ε的无噪音码.

综上，定理4得证.