2. 西安交通大学 数学与统计学院, 陕西 西安 710049
2. School of Mathematics and Statistics, Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049, China
分数阶微分方程是整数阶微分方程的推广, 近年来其研究备受关注, 在流体力学、细胞内扩散过程、神经分数模型以及系统辨识等方面有广泛应用.尤其是在研究混沌理论时, 分数阶微分方程比整数阶微分方程更加精确和细致, 分数阶微分方程理论及应用已取得了显著成果[1-3].近些年来, 分数阶微分方程的边值问题一直是研究热点, 并有了大量结果, 得到了一些分数阶微分方程边值问题解的存在性、多重性和唯一性等结果[4-9].其中, 一方面, 关于积分边值条件的分数阶微分方程的结果还比较少;另一方面, 对带有参数的分数阶微分方程的研究却很少见.近几年关于积分边值条件的分数阶微分方程和带有参数的分数阶微分方程已分别有一些结果[10-14]. 2016年, 文献[15]研究了一类带参数的非线性分数阶差分方程边值问题正解的存在性.但是, 关于既带有参数又是在积分边值条件下的分数阶微分方程解的研究非常少.
文献[6]研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题
正解的存在性.其中, 1 < α≤2是实数, Dα是标准的Caputo型分数阶导数, λ是一个正参数.
文献[12]研究了一类非线性分数阶微分方程积分边值问题
正解的存在性.其中, 2 < α≤3, 0 < λ < 2, 函数f(t, u):[0, 1]×(0, +∞)→(0, +∞)是连续的函数, CDα是标准的Caputo型分数阶导数.
文献[14]研究了一类非线性高阶分数阶微分方程边值问题
正解的存在性.其中α∈(n, n+1), 2 < β≤3, 0≤a≤1, ξ∈(0, 1), 函数f(t, u):[0, 1]×[0, +∞)→[0, +∞)是连续的函数, CDα是标准的Rieman-Liouville型分数阶导数, λ:[0, 1]→[0, ∞)连续且
在此基础上, 本文研究一类带参数λ的分数阶高阶微分方程积分边值问题
(1) |
解的存在性和多重性.其中CD0+α是标准的Caputo型分数阶导数, α∈R, 2≤n=[α] < α < n+1, 且[α]表示实数α的整数部分.函数f(t, u):[0, 1]×(0, +∞)→(0, +∞)是连续的函数, 且g∈L1[0, 1]是一个给定的函数.记
定义1[3] 设α>0, 函数y:(0, +∞)→R, 那么y的α阶分数积分存在定义为
且函数y:(0, +∞)→R的Caputo导数定义为
其中n=[α], n=[α] < α < n+1, Γ是伽玛函数且
由定义1可得, 当0 < n < α < n+1时, 设函数y∈Cn+1[0, 1], 则分数阶微分方程CDαy(t)=0有唯一的解
下文给出一些基本概念和基本知识.设E=C[0, 1]是Banach空间, 且P={u∈E|u(t)≥0, t∈[0, 1]}是E中的锥, 且其范数为
定义2[16] 设P是E中的锥.如果存在一个正常数N, 使得对于0≤x≤y有‖x‖≤N‖y‖成立, 则称锥P是正规锥.正数N中的最小者叫做P的正规常数, 且N≥1.
注:不失一般性, 本文假定正规常数为1.
定义3[17] 设E是Banach空间, D⊂E, A:D→E是连续算子, 如果存在常数k≥0, 使得对任何有界集S⊂D, 都有α(A(S))≤kα(S), 则称A是D上的k-集压缩算子.其中α(S)表示E中的有界集S的Kuratowski非紧性测度.特别地, k < 1时的集压缩算子称为严格集压缩算子.
引理1[17] 设Ω是锥P的一个非空有界开集的子集, 算子A: Ω→P是一个严格集压缩算子且A(Ω)⊂Ω, 其中Ω表示Ω在P中的闭集, 则不动点指数i(A, Ω, P)=1.
引理2[17] 如果算子
引理3 如果
(2) |
有唯一的解
(3) |
(4) |
证明 首先假设u∈Cn+1[0, 1]是方程(2)的解.由定义1得
(5) |
在式(5)中, 令t=1, 由方程(2)的边值条件可得
(6) |
因此, 由式(5)和(6)可得
(7) |
由式(7)得
从而可得
(8) |
把式(8)代入式(7)得
其中G(t, s)是由式(4)定义的.另一方面, 假设
性质1 函数G由式(4)定义且满足下面的条件
(ⅰ) ∀t, s∈[0, 1], 有G∈C([0, 1]×[0, 1])且G(t, s)≥0;
(ⅱ) ∀t, s∈[0, 1], 有
(ⅲ) ∀t∈Iε, s∈[0, 1], 有
证明 (ⅰ)显然成立.下面证明(ⅱ)成立.
情况1 当t≥s时,
情况2 当s≥t时,
最后证明(ⅲ)成立.
当t≤s时,
当t≥s时, 有s∈[0, 1-ε], 且
因此, ∀t∈Iε和s∈[0, 1]有
性质2 对∀t∈Iε, ε∈(0, 1/2), s, y∈[0, 1], 有
(9) |
其中G是由式(4)定义的.
证明 令δ=min{ε-εα-1, (1-ε)-(1-ε)α-1}, ∀t∈Iε, s, y∈[0, 1], 有以下4种情况.
情形1:当max{t, y}≤s时, 有
情形2:当s≤min{t, y}时, 有
情形3:当t≤s≤y时, 有
情形4:当y≤s≤t时, 有
综上可得∀t∈Iε,
为了得到本文的结果, 下面的条件(H)是必需的.
(H) 设
性质3 如果
(10) |
其中H(t, s)由式(3)定义.
证明 根据性质1, H(t, s)≥0显然成立.又因为
证完.
性质4 假设条件(H)成立, 则∀t∈Iε, s, y∈[0, 1]有
(11) |
其中H(t, s)由式(3)定义的.
证明 由式(9)得, ∀t∈Iε, s, y∈[0, 1]有
证完.
边值问题(1)等价于不动点问题
(12) |
则算子T由上面的不动点问题(12)定义.
引理4 设条件(H)成立.则∀r>0, T是
证明 当r>0时有S⊂
类似文献[18]中引理2的证明可得
由条件(H)可得
证完.
引理5 设条件(H)成立, 则T(K)⊂K且T:Kr, R→K是严格集压缩算子.
证明 由式(11)和(12)可得
因此, T(u)∈K, 即T(K)⊂K.由Kr, R⊂K可得T(Kr, R)⊂K.根据引理4, 可类似证明T:Kr, R→K是严格集压缩算子.
2 主要定理及证明定理1 设P是E中的一个正规锥.假设f(t, u)是一个连续函数, ∀t∈[0, 1]且u∈P有f(t, u)>0.假设条件(H)成立.如果f0=f∞=0, 则存在λ1>0, 当λ≥λ1时, 方程(1)至少有2个不同的正解, 当λ充分小时, 方程(1)没有正解.
证明 方程(1)等价于式(12), 由引理4和引理5可得T是由式(12)定义的严格集压缩算子.∀u∈K,
(13) |
∀p>0, 定义
(14) |
由于f(t, u)>0, ∀s∈Iε且y∈[0, 1], 由0 < δu(y)≤u(s)≤p可得m(p)>0.设0 < p1 < p2且定义
(15) |
∀λ≥λ1, 由式(13)~(15)可得对‖u‖=p1和‖u‖=p2有‖Tu‖>‖u‖.因此, 由引理2得i(T, Ω2, K)=0且i(T, Ω3, K)=0, 其中Ω2={u∈K:‖u‖ < p1}且Ω3={u∈K:|u‖ < p2}.当f0=0, ∀λ≥λ1, 令r1>0且η>0使得2r1 < p1, 且∀0 < u≤r1有f(t, u)≤ηu, 其中
(16) |
由性质3得
因此, 对∀u∈K且‖u‖=r1有‖Tu‖≤‖u‖.由引理1得i(T, Ω1, K)=1, 其中Ω1={u∈K:‖u‖ < r1}.当f∞=0, 令r2>2p2, 对u≥r2时有f(t, u)≤ηu, 其中η满足式(16).对函数f分两种情况, 如果f是有界的, 则∃M>0使得∀u∈K有f(t, u)≤M, 取
(17) |
因此, 对u∈K且‖u‖=r2有‖Tu‖≤‖u‖.由于f∞=0, 当f是无界函数时, 令r2>2p2, 对0 < u≤r2有f(t, u)≤ηr2.则∀u∈K有
(18) |
因此, 对u∈K且‖u‖=r2有‖Tu‖≤‖u‖.由引理1得i(T, Ω4, K)=1, 其中Ω4={u∈K:‖u‖ < r2}.由不动点指数可加性得
下面证明当λ充分小时, 方程(1)没有正解.反证法, 假设u∈E是问题(1)的一个正解.当f0=f∞=0时, 存在ξ1>0使得∀t∈[0, 1]和u∈K, 有f(t, u)≤ξ1u.取充分小的λ使得
(19) |
由式(19)可得∀t∈[0, 1], 有
定理2 设P是E中的一个正规锥.假设f(t, u)是一个连续函数, ∀t∈[0, 1]且u∈P有f(t, u)>0.假设条件(H)成立.如果f0=f∞=∞, 则存在λ2>0, 当0 < λ < λ2时, 方程(1)至少有2个不同的正解, 当λ充分大时, 方程(1)没有正解.
证明 ∀u∈K, 有
(20) |
设0 < p1 < p2, 令Mi=max{f(t, u)|0≤u≤pi}, i=1, 2.由式(20)可得
(21) |
(22) |
因此, 取
(23) |
则∀u∈K且‖u‖=r1, 有
(24) |
由式(24)可得当‖u‖=r1时有‖Tu‖>‖u‖.因此, 由引理2得i(T, Ω1, K)=0, 其中Ω1={u∈K:‖u‖ < r1}.当f∞=∞, ∃q>0,且∀u≥q,有f(t, u)≥Mu, 其中M>0且满足式(23).令r2=
(25) |
由式(25)可得, 对‖u‖=r2有‖Tu‖>‖u‖.因此, 由引理2得i(T, Ω4, K)=0, 其中Ω4={u∈K:‖u‖ < r2}.由不动点指数可加性得
下面证明当λ充分大时, 方程(1)没有正解.当f0=f∞=∞, 存在ξ2>0使得∀t∈[0, 1]和u∈P有f(t, u)≥ξ2u.反证法, 假设u∈E是问题(1)的一个正解, 从而可得u∈K且∀s∈Iε有u(s)>
矛盾, 从而可得当λ充分大时, 方程(1)没有正解.证完.
[1] | PODLUBNY L. Fractional differential equations[M]. San Diego: Academic Press, 1999. |
[2] | KILBAS A A, SRIVASTAVA H M, TRUJILLO J J. Theory and applications of fractional differential equations[J]. North-Holland Mathematics Studies, 2006(49/52): 2453-2461 |
[3] | SAMKO S G, KILBAS A A, MARICHEV O I. Fractional integral and derivative theory and applications[M]. Switzerland: Gordon and Breach, 1993. |
[4] | XU Y, HE Z. Existence of solutions for nonlinear high-order fractional boundary value problem with integral boundary condition[J]. J Appl Math Comput, 2014, 44(1/2): 417-435 |
[5] | AGARWAL R P, BENCHOHRA M, HAMANI S. A survey on existence results for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations and inclusions[J]. Acta Applicandae Mathematicae, 2010, 109(3): 973-1033 DOI:10.1007/s10440-008-9356-6 |
[6] | ZHAO Y G, SUN S R, HAN Z L, et al. Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations[J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 217: 6950-6958 DOI:10.1016/j.amc.2011.01.103 |
[7] |
廖春平, 叶海平. 分数阶时滞微分方程正解的存在性[J].
纺织高校基础科学学报, 2008, 21(4): 415-420 LIAO C P, YE H P. Existence of positive solutions of nonlinear fractional differentiaI equations with delay[J]. Basic Sciences Journal of Textile Universites, 2008, 21(4): 415-420 |
[8] | ZHANG X, LIU L, WU Y. The eigenvalue problem for a singular higher order fractional differential equation involving fractional derivatives[J]. Applied Mathematics and Computation, 2012, 218(17): 8526-8536 DOI:10.1016/j.amc.2012.02.014 |
[9] | SUN F, LIU L, ZHANG X, et al. Spectral analysis for a singular differential system with integral boundary conditions[J]. Mediterr J Math, 2016, 13(6): 4763-4782 DOI:10.1007/s00009-016-0774-9 |
[10] | JIA M, LIU X P. Three nonnegative solutions for fractional differential equations with integral boundary conditions[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2011, 62(3): 1405-1412 DOI:10.1016/j.camwa.2011.03.026 |
[11] | ZHANG X M, FENG M Q, GE W G. Existence results for nonlinear boundary-value problems with integral boundary conditions in Banach spaces[J]. Nonlinear Analysis, 2008, 69(10): 3310-3321 DOI:10.1016/j.na.2007.09.020 |
[12] | ALBERTO C, WANG G T. Positive solutions of nonlinear fractional differential equations with integral boundary value conditions[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2012, 389(1): 403-411 DOI:10.1016/j.jmaa.2011.11.065 |
[13] |
卢整智, 韩晓玲. 一类带参数的分数阶微分方程边值问题多个正解的存在性[J].
四川大学学报(自然科学版), 2013, 50(1): 23-28 LU Z Z, HAN X L. Existence and multiple positive solutions for a class of fractional differential equation boundary value problem[J]. Journal of Sichuan University(Natural Science Edition), 2013, 50(1): 23-28 |
[14] |
刘东利, 杨军, 崔更新. 高阶分数阶微分方程边值问题正解的存在性[J].
郑州大学学报(理学版), 2014, 46(1): 16-20 LIU D L, YANG J, CUI G X. Existence of positive solutions for boundary value problem of fractional high-order differential equations[J]. Journal of Zhengzhou University (Natural Science Edition), 2014, 46(1): 16-20 |
[15] |
葛琦, 侯成敏. 一类带有参数的分数阶差分方程边值问题正解的存在性和不存在性[J].
东北石油大学学报, 2016, 40(2): 112-120 GE Q, HOU C M. Existence and nonexistence of positive solutions for a class of fractional difference equation with a parameter[J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2016, 40(2): 112-120 |
[16] |
孙经先.
非线性泛函分析及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2008.
SUN J X. Nonlinear functional analysis and its applications[M]. Beijing: Science Press, 2008. |
[17] | GUO D J, LAKSHMIKANTHAM V, LIU X Z. Nonlinear integral equations in abstract spaces[M]. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. |
[18] | GUO D J, LAKSHMIKANTHAM V. Multiple solutions of two-point boundary value problems of ordinary differential equations in Banach spaces[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1988, 129(1): 211-222 DOI:10.1016/0022-247X(88)90243-0 |