一类带有参数的分数阶微分方程正解的存在性与多重性
邢慧1 , 殷子健2     
1. 西安工程大学 理学院, 陕西 西安 710048;
2. 西安交通大学 数学与统计学院, 陕西 西安 710049
摘要:研究一类带有参数的分数阶微分方程正解的存在性问题.分析该分数阶微分方程的格林函数的一些性质;并利用Banach空间锥上的不动点指数定理以及格林函数的性质,证明当参数属于不同范围时,该方程正解的存在性和多重性.最后,利用反证法,在不同参数范围条件下,证明了该方程正解的不存在性.
关键词分数阶微分方程     正解     严格集压缩算子     非紧性测度    
Existence and multiplicity of positive solutions for a class of fractional differential equations with a parameter
XING Hui1, YIN Zijian2     
1. School of Science, Xi'an Polytechnic University, Xi'an 710048, China;
2. School of Mathematics and Statistics, Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049, China
Abstract: The existence of positive solutions for a class of fractional differential equations with a prameter is established.The properties of Green function are investigated, and by the fixed point index theory in cone and the properties of Green function, the different existence results are obtained in the different parametric intervals in Banach space. Finally, the nonexistence of solutions is proved by the contradiction in the different parametric intervals.
Key words: fractional differential equations     positive solutions     strict set contraction operator     measure of noncompactness    
0 引言

分数阶微分方程是整数阶微分方程的推广, 近年来其研究备受关注, 在流体力学、细胞内扩散过程、神经分数模型以及系统辨识等方面有广泛应用.尤其是在研究混沌理论时, 分数阶微分方程比整数阶微分方程更加精确和细致, 分数阶微分方程理论及应用已取得了显著成果[1-3].近些年来, 分数阶微分方程的边值问题一直是研究热点, 并有了大量结果, 得到了一些分数阶微分方程边值问题解的存在性、多重性和唯一性等结果[4-9].其中, 一方面, 关于积分边值条件的分数阶微分方程的结果还比较少;另一方面, 对带有参数的分数阶微分方程的研究却很少见.近几年关于积分边值条件的分数阶微分方程和带有参数的分数阶微分方程已分别有一些结果[10-14]. 2016年, 文献[15]研究了一类带参数的非线性分数阶差分方程边值问题正解的存在性.但是, 关于既带有参数又是在积分边值条件下的分数阶微分方程解的研究非常少.

文献[6]研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题

正解的存在性.其中, 1 < α≤2是实数, Dα是标准的Caputo型分数阶导数, λ是一个正参数.

文献[12]研究了一类非线性分数阶微分方程积分边值问题

正解的存在性.其中, 2 < α≤3, 0 < λ < 2, 函数f(t, u):[0, 1]×(0, +∞)→(0, +∞)是连续的函数, CDα是标准的Caputo型分数阶导数.

文献[14]研究了一类非线性高阶分数阶微分方程边值问题

正解的存在性.其中α∈(n, n+1), 2 < β≤3, 0≤a≤1, ξ∈(0, 1), 函数f(t, u):[0, 1]×[0, +∞)→[0, +∞)是连续的函数, CDα是标准的Rieman-Liouville型分数阶导数, λ:[0, 1]→[0, ∞)连续且

在此基础上, 本文研究一类带参数λ的分数阶高阶微分方程积分边值问题

(1)

解的存在性和多重性.其中CD0+α是标准的Caputo型分数阶导数, αR, 2≤n=[α] < α < n+1, 且[α]表示实数α的整数部分.函数f(t, u):[0, 1]×(0, +∞)→(0, +∞)是连续的函数, 且gL1[0, 1]是一个给定的函数.记

1 定义、引理及性质

定义1[3]  设α>0, 函数y:(0, +∞)→R, 那么yα阶分数积分存在定义为

且函数y:(0, +∞)→R的Caputo导数定义为

其中n=[α], n=[α] < α < n+1, Γ是伽玛函数且

由定义1可得, 当0 < n < α < n+1时, 设函数yCn+1[0, 1], 则分数阶微分方程CDαy(t)=0有唯一的解

下文给出一些基本概念和基本知识.设E=C[0, 1]是Banach空间, 且P={uE|u(t)≥0, t∈[0, 1]}是E中的锥, 且其范数为.构建一个锥K={uE|u(t)≥δu(y), tIε, y∈[0, 1]}, 且KP, 其中δ=min{ε-εα-1, (1-ε)-(1-ε)α-1}且Iε=[ε, 1-ε].∀0 < r < R < +∞, 设

定义2[16] 设PE中的锥.如果存在一个正常数N, 使得对于0≤xy有‖x‖≤Ny‖成立, 则称锥P是正规锥.正数N中的最小者叫做P的正规常数, 且N≥1.

:不失一般性, 本文假定正规常数为1.

定义3[17] 设E是Banach空间, DE, A:DE是连续算子, 如果存在常数k≥0, 使得对任何有界集SD, 都有α(A(S))≤(S), 则称AD上的k-集压缩算子.其中α(S)表示E中的有界集S的Kuratowski非紧性测度.特别地, k < 1时的集压缩算子称为严格集压缩算子.

引理1[17] 设Ω是锥P的一个非空有界开集的子集, 算子A: ΩP是一个严格集压缩算子且A(Ω)⊂Ω, 其中Ω表示ΩP中的闭集, 则不动点指数i(A, Ω, P)=1.

引理2[17] 如果算子是一个严格集压缩算子, ‖Au‖≥‖u‖, 且对于uPrAuu, 则不动点指数i(A, Ω, P)=0.

引理3  如果, 则∀h:[0, 1]→[0, +∞), 边值问题

(2)

有唯一的解, 其中

(3)
(4)

证明 首先假设uCn+1[0, 1]是方程(2)的解.由定义1得

(5)

在式(5)中, 令t=1, 由方程(2)的边值条件可得

(6)

因此, 由式(5)和(6)可得

(7)

由式(7)得

从而可得

(8)

把式(8)代入式(7)得

其中G(t, s)是由式(4)定义的.另一方面, 假设, 由定义1可得CD0+ε u(t)=-h(t), 容易验证得.证完.

性质1  函数G由式(4)定义且满足下面的条件

(ⅰ) ∀t, s∈[0, 1], 有GC([0, 1]×[0, 1])且G(t, s)≥0;

(ⅱ) ∀t, s∈[0, 1], 有;

(ⅲ) ∀tIε, s∈[0, 1], 有.

证明  (ⅰ)显然成立.下面证明(ⅱ)成立.

情况1  当ts时,

情况2  当st时,

最后证明(ⅲ)成立.

ts时,

ts时, 有s∈[0, 1-ε], 且

因此, ∀tIεs∈[0, 1]有, 证毕.

性质2  对∀tIε, ε∈(0, 1/2), s, y∈[0, 1], 有

(9)

其中G是由式(4)定义的.

证明  令δ=min{ε-εα-1, (1-ε)-(1-ε)α-1}, ∀tIε, s, y∈[0, 1], 有以下4种情况.

情形1:当max{t, y}≤s时, 有

情形2:当s≤min{t, y}时, 有

情形3:当tsy时, 有

情形4:当yst时, 有

综上可得∀tIε, , s, y∈[0, 1], 有G(t, s)≥δG(y, s).证完.

为了得到本文的结果, 下面的条件(H)是必需的.

(H) 设, 是全连续的, 存在非负常数ηr满足 < 1,使得∀t∈[0, 1], 有不等式α(f(t, S))≤ηrα(S)成立.

性质3  如果和条件(H)成立, 则∀t, s∈[0, 1]有

(10)

其中H(t, s)由式(3)定义.

证明  根据性质1, H(t, s)≥0显然成立.又因为, 由条件(H)得

证完.

性质4  假设条件(H)成立, 则∀tIε, s, y∈[0, 1]有

(11)

其中H(t, s)由式(3)定义的.

证明 由式(9)得, ∀tIε, s, y∈[0, 1]有

证完.

边值问题(1)等价于不动点问题

(12)

则算子T由上面的不动点问题(12)定义.

引理4  设条件(H)成立.则∀r>0, T上的严格集压缩算子, 即存在常数0≤k < 1使得∀Sα(T(S))≤(S).

证明  当r>0时有S成立.显然算子T:P是连续的且是有界的.由式(10)得

类似文献[18]中引理2的证明可得

由条件(H)可得

证完.

引理5  设条件(H)成立, 则T(K)⊂KT:Kr, RK是严格集压缩算子.

证明 由式(11)和(12)可得

因此, T(u)∈K, 即T(K)⊂K.由Kr, RK可得T(Kr, R)⊂K.根据引理4, 可类似证明T:Kr, RK是严格集压缩算子.

2 主要定理及证明

定理1  设PE中的一个正规锥.假设f(t, u)是一个连续函数, ∀t∈[0, 1]且uPf(t, u)>0.假设条件(H)成立.如果f0=f=0, 则存在λ1>0, 当λλ1时, 方程(1)至少有2个不同的正解, 当λ充分小时, 方程(1)没有正解.

证明  方程(1)等价于式(12), 由引理4和引理5可得T是由式(12)定义的严格集压缩算子.∀uK,

(13)

p>0, 定义

(14)

由于f(t, u)>0, ∀sIεy∈[0, 1], 由0 < δu(y)≤u(s)≤p可得m(p)>0.设0 < p1 < p2且定义

(15)

λλ1, 由式(13)~(15)可得对‖u‖=p1和‖u‖=p2有‖Tu‖>‖u‖.因此, 由引理2得i(T, Ω2, K)=0且i(T, Ω3, K)=0, 其中Ω2={uK:‖u‖ < p1}且Ω3={uK:|u‖ < p2}.当f0=0, ∀λλ1, 令r1>0且η>0使得2r1 < p1, 且∀0 < ur1f(t, u)≤ηu, 其中

(16)

由性质3得

因此, 对∀uK且‖u‖=r1有‖Tu‖≤‖u‖.由引理1得i(T, Ω1, K)=1, 其中Ω1={uK:‖u‖ < r1}.当f=0, 令r2>2p2, 对ur2时有f(t, u)≤ηu, 其中η满足式(16).对函数f分两种情况, 如果f是有界的, 则∃M>0使得∀uKf(t, u)≤M, 取, 则∀uK

(17)

因此, 对uK且‖u‖=r2有‖Tu‖≤‖u‖.由于f=0, 当f是无界函数时, 令r2>2p2, 对0 < ur2f(t, u)≤ηr2.则∀uK

(18)

因此, 对uK且‖u‖=r2有‖Tu‖≤‖u‖.由引理1得i(T, Ω4, K)=1, 其中Ω4={uK:‖u‖ < r2}.由不动点指数可加性得, .因此, T中分别有一个不动点, 也就是方程(1)的正解.

下面证明当λ充分小时, 方程(1)没有正解.反证法, 假设uE是问题(1)的一个正解.当f0=f=0时, 存在ξ1>0使得∀t∈[0, 1]和uK, 有f(t, u)≤ξ1u.取充分小的λ使得 < 1.从而得到

(19)

由式(19)可得∀t∈[0, 1], 有, 矛盾.证完.

定理2  设PE中的一个正规锥.假设f(t, u)是一个连续函数, ∀t∈[0, 1]且uPf(t, u)>0.假设条件(H)成立.如果f0=f=∞, 则存在λ2>0, 当0 < λ < λ2时, 方程(1)至少有2个不同的正解, 当λ充分大时, 方程(1)没有正解.

证明  ∀uK, 有

(20)

设0 < p1 < p2, 令Mi=max{f(t, u)|0≤upi}, i=1, 2.由式(20)可得

(21)
(22)

因此, 取, i=1, 2, 使得对0 < λλ2, 当‖u‖=p1时, 有(Tu)(t)≤p1成立, 当‖u‖=p2时, (Tu)(t)≤p2, 由此可得‖Tu‖≤‖u‖.令Ω2={uK:‖u‖ < p1}且Ω3={uK:‖u‖ < p2}, 由引理1得i(T, Ω2, K)=1且i(T, Ω3, K)=1.当f0=∞, ∃2r1 < p1, 且∀0 < ur1, 有f(t, u)≥Mu, 其中M>0且满足

(23)

则∀uK且‖u‖=r1, 有

(24)

由式(24)可得当‖u‖=r1时有‖Tu‖>‖u‖.因此, 由引理2得i(T, Ω1, K)=0, 其中Ω1={uK:‖u‖ < r1}.当f=∞, ∃q>0,且∀uq,有f(t, u)≥Mu, 其中M>0且满足式(23).令r2= , 则对‖u‖=r2uK.对y∈[0, 1],有

(25)

由式(25)可得, 对‖u‖=r2有‖Tu‖>‖u‖.因此, 由引理2得i(T, Ω4, K)=0, 其中Ω4={uK:‖u‖ < r2}.由不动点指数可加性得, .因此, T中分别有一个不动点, 也就是方程(1)的正解.

下面证明当λ充分大时, 方程(1)没有正解.当f0=f=∞, 存在ξ2>0使得∀t∈[0, 1]和uPf(t, u)≥ξ2u.反证法, 假设uE是问题(1)的一个正解, 从而可得uK且∀sIεu(s)> .选择充分大的λ使得, 从而可得

矛盾, 从而可得当λ充分大时, 方程(1)没有正解.证完.

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西安工程大学、中国纺织服装教育学会主办
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邢慧, 殷子健.
XING Hui, YIN Zijian.
一类带有参数的分数阶微分方程正解的存在性与多重性
Existence and multiplicity of positive solutions for a class of fractional differential equations with a parameter
纺织高校基础科学学报, 2017, 30(4): 503-510
Basic Sciences Journal of Textile Universities, 2017, 30(4): 503-510.

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收稿日期: 2017-08-29

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