0 引言

肺结核是常见的一种呼吸道传染病.我国是结核病高发国家之一, 每年大约有13万人死于肺结核, 对于肺结核的预防和控制至关重要.疾病最有效的控制方法是对患者进行治疗和对易感者进行接种.目前治疗结核病主要是依靠化学药物杀灭体内的结核菌, 由于肺结核潜伏期长, 还有患者的服药依从性问题, 会引起治疗不及时或不彻底, 从而会不断传染周围人, 造成肺结核病的蔓延.除此以外, 对易感群体接种疫苗是避免感染结核病的行之有效的方法.我国规定新生儿出生都要进行卡介苗接种, 儿童、成人也会要求进行卡介苗的接种.

近年来有很多传染病模型的研究^[1-2], 关于肺结核也有许多不同方面的研究^[3-16].如文献[3]研究了不完全治疗对肺结核传播模型的动力学性态的影响；文献[4]分析了不完全治疗和新生儿接种的肺结核传播模型的全局动力学性态；文献[5-6]研究了一类具有快慢进程的肺结核模型的全局性态；文献[7]讨论了常数输入的肺结核模型的动力学性态；文献[8]考虑了一般发生率对疾病传播的影响；文献[9]研究了重复感染对模型动力学性态的影响.尽管这些文献考虑了新生儿接种对于肺结核病的影响^{[3, 5, 9-11]}, 但却很少有人考虑易感者接种对肺结核的影响.本文在文献[3-4]的基础上, 根据肺结核的传播特点, 考虑不完全治疗和对新生儿进行接种, 以及对易感者进行接种的更为实际的模型，并研究模型的动力学性态, 得到关于疾病灭绝的条件.

1 模型建立

把总人口N分为五个仓室, 分别为S, L, I, T, V.其中S是易感者, 没有感染过肺结核病史; L是潜伏者, 表示个体被Mtb(结核杆菌)所感染, 但没有传染性; I是传染者, 表示个体被Mtb所感染, 且具有一定的传染性; T是治疗者, 表示正在接受治疗的个体; V是接种者, 表示通过接种而暂时获得免疫能力的个体(V中的人口数目远多于其他仓室的人口数目).建立如下的数学模型:

(1)

式中:A表示总人口的常数输入率, p(0≤p≤1)表示新生儿的接种比例系数, b表示对易感者的接种比例系数, c表示被接种者的免疫丧失率系数(c>b>0), d表示自然死亡率系数, α₁, α₂分别表示个体在I、T中的因病死亡率系数, β表示传染率系数, σ(0 < σ < 1)表示个体经过接种后再次被感染率, γ表示染病者接受治疗的治疗率, q(0≤q < 1)表示染病者通过治疗到潜伏类的移出率, ε表示个体从潜伏者L到传染者I的转化率系数, k(0≤k≤1)表示个体接受治疗并治疗成功的比率, δ表示治疗者离开仓室T的转移率.

为方便计算, 令m₁=b+d, m₂=ε+d, m₃=γ+d+α₁, m₄=δ+d+α₂, m₅=c+d.因此, 上式又可写为

对于系统(1), 有(S+L+I+T+V)′=A-d(S+L+I+T+V)-α₁T-α₂T≤A-d(S+L+I+T+V), 即.这意味着对于系统(1), 集合Ω={(S, L, I, T, V)∈R₊⁵:S+L+I+T+V≤A/d}是系统的正向不变集.

2 平衡点和基本再生数

系统(1)有唯一的无病平衡点E₀(S₀, 0, 0, 0, V₀), 其中

根据文献[17]中的定理2, 系统(1)基本再生数是

关于系统(1)的地方病平衡点E^*(S^*, L^*, I^*, T^*, V^*), 可以根据下面的方程得出

(2)

根据上述方程的第一, 第三, 第四和第五个等式, 可以得到

(3)

把式(3)代入式(2)中第二个等式则有

这里

记Φ(I):=a₀I²+a₁I+a₂, 当m₂m₃m₄-(1-q)δγ[(1-k)m₂+kε]-qγm₄ε>0时, 可以证明M>0.那么∃a₀>0, 当且仅当R₀>1时有a₂ < 0.因此, 当R₀>1时, Φ(I)存在唯一的正根I^*, 且I^*∈(0, A/d), 有Φ(0)=a₂ < 0.所以, 当R₀>1时, 模型存在唯一的正平衡点E^*(S^*, L^*, I^*, T^*, V^*).为此, 可以得到下面的平衡点存在定理.

定理1 对于系统(1), 如果R₀≤1, 则系统(1)有唯一的无病平衡点E₀(S₀, 0, 0, 0, V₀); 如果R₀>1, 则除了无病平衡点E₀以外, 系统(1)还有正的平衡点E^*(S^*, L^*, I^*, T^*, V^*), 这里I^*∈是关于Φ(I)=0时唯一的正根, 并且S^*, L^*, T^*, V^*通过式(3)所定义.

3 平衡点的全局稳定性

关于系统(1)平衡点的全局稳定性, 有以下的结论.

定理2 对于系统(1), 如果R₀≤1, 则在集合Ω上无病平衡点E₀是全局渐近稳定的.

证明 定义函数H₁=εm₄L+m₂m₄I+δ[kε+m₂(1-k)]T, 则

定义Lyapunov函数

那么, W₁沿着系统(1)的全导数是

这里

把F(S, V)看成一个关于S-S₀的一元二次函数, 这时只要Δ < 0, 则有F(S, V) < 0.

由模型(1)可知S₀, V₀满足

将其代入Δ中, 有

因为p≤1, 所以F(S, V)≤0, 并且当且仅当S=S₀, V=V₀时有F(S, V)=0.同时注意到, 当R₀≤1时有, 以及当且仅当R₀=1时有.因此由定理1可以推断出, 关于系统(1)在集合{(S, L, I, T, V)∈Ω:W′₁|₍₁₎≤0}的不变集是一个单集{E₀}.所以当R₀≤1时, 由LaSalle不变集原理^[18]可知, 平衡点E₀在集合Ω上是全局渐近稳定的.

定理3  当R₀>1时, 系统(1)在集合Ω上的地方病平衡点是全局渐近稳定的.

证明 因为S^*, L^*, I^*, T^*和V^*满足

所以系统(1)可重新写为

(4)

令, 则式(4)可重新写为

(5)

因此, 关于系统(3)的平衡点=(1, 1, 1, 1, 1)的全局渐近稳定性与系统(1)的地方病平衡点E^*=(S^*, L^*, I^*, T^*, V^*)的全局渐近稳定性是等价的.

令

其中

则H₂沿着系统(5)的全导数是

把S^*, L^*, I^*, T^*, V^*代入系统(1)中, 再根据其对H′₂|₍₄₎进行化简.又因为

则有

因为算术平均数大于等于几何平均数, 所以当x, y, z, u, g>0时, 有H′₂|₍₅₎≤0, 当且仅当x=1, g=1, y=z=u时有H′₂|₍₅₎=0.

集合{(x, y, z, u, g):x=1, y=z=u, g=1, x, y, z, u, g>0}在z=1时, 符合系统(5)中的第三个等式.因此得出, 系统(5)在集合{(x, y, z, u, g):x=1, y=z=u, g=1, x, y, z, u, g>0}的不变集是一个单点集, 即为{(1, 1, 1, 1, 1)}.所以当R₀>1时, 由LaSalle不变集原理可知, 系统(5)的地方病平衡点是全局渐近稳定的.即当R₀>1时, 系统(1)的地方病平衡点E^*是全局渐近稳定的.

4 结束语

根据传染病动力学的建模思想和肺结核的传播机理建立了具有接种和治疗的肺结核模型, 并分析了模型的动力学性态, 得到疾病传播与否的阈值——基本再生数R₀.证明了当R₀≤1时, 无病平衡点全局渐近稳定, 疾病最终消亡; 当R₀>1时, 存在地方病平衡点, 且其全局渐近稳定, 疾病最终持续.

因此，要控制疾病, 就需减少基本再生数R₀使其小于1.由R₀的表达式R₀= 知, 所以可以通过加强新生儿和易感者的接种率来达到控制疾病.由可知，通过研发有效药物和提高病人的服药依从性来改善治疗的有效率而达到控制疾病的目的.不管是提高接种率还是对高效药物的研发使用, 都涉及到高昂的费用问题, 如何在费用和疾病控制中达到最优, 这将是我们下一步的研究方向.