1 引言及预备知识

1968年, Chang^[1]提出模糊拓扑空间理论, 此后L-fuzzy拓扑空间理论研究达到新高潮.分离性是拓扑学中重要的拓扑性质之一, 在L-fuzzy拓扑空间中, 王国俊^[2]和刘应明^[3]等已经系统地介绍了分离公理.此外, 国内外许多学者也从不同的角度提出了很多种分离公理, 取得了丰硕的研究成果. 1995年, Kubiak^[4]引入了L-T₁与Kubiak-T₂分离性公理; 之后, 方进明等^[5]给出了WT_i-(i=0, 1, 2, 3, 4)分离性; 尤飞^[6]提出了分离性; 谷敏强等^[7]引入了层分离性公理; 史福贵^[8]提出了L-T₂, L-Urysohn和L-completely Hausdorff分离性公理; 黄金兰等^[9]提出了Lω-空间中的ω-Tychonoff分离性等.随着推广型开集的深入发展, 许多学者开始利用推广型开集进一步研究拓扑性质, 尤其对L-fuzzy拓扑空间的分离性的研究做了大量的工作.杨强等^[10]利用θ-开集研究了H-分离性; 王婕等^[11]利用半开集研究了S_i-(i=-1, 0, 1, 2)分离性; 苏淑华等^[12-13]先后利用正则闭集研究了正则闭分离性，以及利用LF-r开集研究了rT-分离性; 张春燕^[14]利用强半开集研究了LF拓扑空间中一类加强的分离性.

本文在L-fuzzy(其中L是F格)空间中利用更一般的推广型开集E_s集给出了更具有一般性的加强的E_sT_i(i=1, 2, 3, 4)分离性与分离性, 并讨论其一些基本性质和范畴性质.此外, 在定义加强的E_sT_i(i=1, 2, 3, 4)分离性时, 用到了具有更高要求的P(x)=1或Q(x)=1来代替了P(x)∨Q(x)=1和用更一般的LF点x_λ来代替了分子.在定义分离性时, 借助了E_s连续的L值Zadeh型函数定义了完全E_s正则空间.从而进一步丰富了分离性的理论.

定义1^[15]设(L^X, δ)是LF拓扑空间, A∈L^X,

(1) 若∃U∈δ使得U≤A≤U^-, 则称A为半开集;

(2) 若∃F∈δ′使得F°≤A≤F, 则称A为半闭集.

(L^X, δ)中一切半开集记为SO(L^X), 一切半闭集记为SC(L^X).

命题1^[16]  设(L^X, δ)是LF拓扑空间, A∈L^X,

(1) 开集是半开集, 闭集是半闭集;

(2) A是半开集的充要条件为A′是半闭集;

(3) 任意多个半开(闭)集的并(交)是半开(闭)集;

(4) A^o≤A_o≤A≤A_-≤A^-;

(5) A是半开集的充要条件为A=A_o;

(6) A是半闭集的充要条件为A=A_-;

(7) A_oo=A_o;

(8) A_--=A_-.

定义2  设(L^X, δ)是LF拓扑空间, A∈L^X,

(1) E_s(A)=∧{O∈SO(L^X)|A≤O}, 若A满足A=E_s(A), 则称A为E_s集;

(2) E_s^*(A)=∨{B∈SC(L^X)|B≤A}, 若A满足A=E_s^*(A), 则称A为E_s闭集.

(L^X, δ)中一切E_s集记为E^s(L^X), 一切E_s闭集记为E^s*(L^X).

定义3  设(L^X, δ)是LF拓扑空间, A∈L^X,

(1) 包含于A的一切E_s集的并称为A的E_s内部, 记为(A)°_E, 即

(2) 包含A的一切E_s闭集的交称为A的E_s闭包, 记为(A)_E^-, 即

命题2  设(L^X, δ)是LF拓扑空间, A∈L^X,

(1) 任意多个E_s集的并(交)仍为E_s集;

(2) A是E_s集的充要条件为A=(A)_E^o;

(3) A是E_s闭集的充要条件为A=(A)_E^-.

证明  (1)要证任意多个E_s集的并仍为E_s集, 只需证明.由定义2知, ≤.下证, 即

对, 则对∀O∈SO(L^X), 使, 有x_λ≤O.又L^X是F格, 由分配律知

对, 有, 于是有

从而

于是

要证任意多个E_s集的交仍为E_s集, 只需证明.由定义2知, .下证.

设, 则使.从而, 使, 但.由, 则.于是≥.

(2) 必要性:当A是E_s集时, 由定义3可知, (A)_E^o是包含于A的最大E_s集, 于是A=(A)_E^o.

充分性:由(1)知, (A)_E^o是E_s集, 又由A=(A)_E^o, 于是A是E_s集.

(3) 必要性:当A是E_s闭集时, 由定义3可知, (A)_E^-是包含A的最小E_s闭集, 于是A=(A)_E^-.

充分性:由(1)知, (A)_E^-是E_s闭集, 又由A=(A)_E^-, 于是A是E_s闭集.

定义4^[2]  设A∈L^X, 若∃a∈L, a≠0, 使A(x)>0⇔A(x)≥a, ∀x∈X, 则称A为准分明集.

显然, 分明集都是准分明集, 任一x_λ∈M^*(L^X)也都是准分明集.

定义5  设(L^X, δ)是LF拓扑空间, x_λ∈M^*(L^X), P∈E^s*(L^X).若x_λ∉P, 则称P为x_λ的E_s闭远域.设Q∈L^X, 若有x_λ的E_s闭远域P使Q≤P, 则称Q为x_λ的E_s远域.分子x_λ的一切E_s远域和一切E_s闭远域之集分别记为eη(x_λ)和eη^-(x_λ).

定义6  设(L^X, δ)是LF拓扑空间, A∈L^X, P∈E^s*(L^X).若∀x∈X, 当A(x)>0时, A(x)≤P(x), 则称P为A的E_s闭远域.设Q∈L^X, 若有A的E_s闭远域P使Q≤P, 则称Q为A的E_s远域.A的一切E_s远域和一切E_s闭远域之集分别记为eη(A)和eη^-(A).

定义7  设(L^X, δ)是LF拓扑空间,

(1) 若对M^*(L^X)中的任意两个不同的分子x_λ与y_μ, 当x_λ≤y_μ时, ∃P∈eη(x_λ)使y_μ≤P, 则称(L^X, δ)为E_sT₁空间;

(2) 若对M^*(L^X)中的任意两个分子x_λ与y_μ, 当x≠y时, ∃P∈eη(x_λ)和Q∈eη(y_μ)使P∨Q=1, 则称(L^X, δ)为E_s Hausdorff空间或E_sT₂空间;

(3) 若对任意一个非零准分明E_s闭集A和x_λ∈M^*(L^X), 当x∉suppA时, ∃P∈eη(x_λ)和∃Q∈eη(A)使P∨Q=1, 则称(L^X, δ)为E_s正则空间.称E_sT₁的E_s正则空间为E_sT₃空间;

(4) 若对任意两个非零准分明E_s闭集A和B, 当sup pA∩sup pB=∅时, ∃P∈eη(A)和∃Q∈eη(B)使P∨Q=1, 则称(L^X, δ)为E_s正规空间.称E_sT₁的E_s正规空间为E_sT₄空间.

定义8  设(L₁^X₁, δ₁)与(L₂^X₂, δ₂)是LF拓扑空间, f:L₁^X₁→L₂^X₂, 若L₂^X₂中的任一E_s集U, 其原像f^-1(U)是L₁^X₁中的E_s集, 则称f为E_s连续.若映射f是序同态, 则称f为E_s连续序同态.

定义9  设(L^X₁, δ₁)与(L^X₂, δ₂)是LF拓扑空间, f:L^X₁→L^X₂是L值Zadeh型函数.若存在f是单满的且f与f^-1都E_s连续, 则称(L^X₁, δ₁)与(L^X₂, δ₂)强E_s同胚.称f为强E_s同胚映射.被强E_s同胚映射所保持的性质称为弱E_s同胚不变性质.

定义10  设(L^X, δ)是LF拓扑空间, β⊂E^s(L^X), 若(L^X, δ)中任意E_s集可以表示为β中若干个E_s集之并, 则称β为(L^X, δ)的E_s基.

定义11  设(X, τ)是分明拓扑空间, L是F格, A:X→L是映射, 若∀a∈L, {x∈X|A(x)≤a}∈E^s*(X), 则称A为X上的L值E_s下半连续函数.

定理1  设(X, τ)是分明拓扑空间, L是F格, B是X的子集, 则B∈E^s(X)的充要条件为χ_B为X上的L值E_s下半连续函数, 此时χ_B:X→L是B的特征函数.

证明  设a∈L, 当a≠1时, {x∈X|χ_B(x)≤a}=B′; 当a=1时, {x∈X|χ_B(x)≤a}=X.由B∈E^s(X)知, ∀a∈L, {x∈X|χ_B(x)≤a}∈E^s*(X), 于是χ_B为X上的L值E_s下半连续函数.反之, χ_B为X上的L值E_s下半连续函数, 则∀a∈L, {x∈X|χ_B(x)≤a}∈E^s*(X), 即B′∈E^s*(X)或X∈E^s*(X), 从而B∈E^s(X)或X∈E^s(X), 所以定理成立.

2 加强的E_sT_i(i=1, 2, 3, 4)分离性

定义12  设(L^X, δ)是LF拓扑空间,

(1) 若每个LF点x_λ都是E_s闭集, 则称(L^X, δ)为SE_sT₁空间;

(2) 若对任意两个LF点x_λ与y_μ, 当x≠y时, ∃P∈eη(x_λ)和Q∈eη(y_μ)使∀x∈X, P(x)=1或Q(x)=1成立, 称(L^X, δ)为强E_s Hausdorff空间.称SE_sT₁的强E_s Hausdorff空间为SE_sT₂空间;

(3) 若对任意一个非零准分明E_s闭集A和任意一个LF点x_λ, 当x∉sup pA时, ∃P∈eη(x_λ)和Q∈eη(A)使∀x∈X, P(x)=1或Q(x)=1成立, 则称(L^X, δ)为强E_s正则空间.称SE_sT₁的强E_s正则空间为SE_sT₃空间;

(4) 若对任意两个非零准分明E_s闭集A和B, 当sup pA∩sup pB=∅时, ∃P∈eη(A)和Q∈eη(B)使∀x∈X, P(x)=1或Q(x)=1成立, 则称(L^X, δ)为强E_s正规空间.称SE_sT₁的强E_s正规空间为SE_sT₄空间.

命题3

易证.

定义13  设(X, τ)是拓扑空间,

(1) 若对∀x, y∈X, x≠y, ∃P, Q∈E^s(X)使x∈P, y∈Q且x∉Q, y∉P, 则称(X, τ)为E_sT₁空间;

(2) 若对∀x, y∈X, x≠y, ∃P, Q∈E^s(X)使x∈P, y∈Q且P∩Q=∅, 则称(X, τ)为E_sT₂空间;

(3) 若对∀x∈X, A⊂X且x∉A∈E^s*(X), ∃P, Q∈E^s(X)使x∈P, A⊂Q且P∩Q=∅, 则称(X, τ)为E_sT₃空间;

(4) 若对∀A, B⊂X且A, B∈E^s*(X), A∩B=∅, ∃P, Q∈E^s(X)使A⊂P, B⊂Q且P∩Q=∅, 则称(X, τ)为E_sT₄空间.

定理2  设(L^X, ω_L(τ))是由分明拓扑空间(X, τ)拓扑生成的LF拓扑空间, 则(L^X, ω_L(τ))是SE_sT_i空间的充要条件为(X, τ)是E_sT_i空间, 其中i=1, 2, 3, 4.

证明  以i=2为例.

必要性:设(L^X, ω_L(τ))是SE_sT₂空间, x与y是X中两个不同的点.∀λ∈L, 则有E_s闭集P∈eη(x_λ)和Q∈eη(y_λ)使∀x∈X, P(x)=1或Q(x)=1成立, 从而

因, 故x∈U, y∈V.若z∈U∩V≠∅, 则.此时λ(P∨Q)(z)=1矛盾.于是, U∩V=∅, 故(X, τ)是E_sT₂空间.

充分性:设(X, τ)是E_sT₂空间, 从而也是E_sT₁空间, 于是, (L^X, ω_L(τ))是SE_sT₁空间.下面只需证明(L^X, ω_L(τ))是强E_s Hausdorff空间.设x_λ与y_μ是任意两个LF点且x≠y.因(X, τ)是E_sT₂空间, 所以∃U, V∈E^s(X)使x∈U, y∈V且U∩V=∅.

令P=χ_U′, Q=χ_V′, 由x∉U′, y∉V′知, P, Q分别是x_λ, y_μ的E_s闭远域, 且P∨Q=χ_U′∨χ_V′=χ_U′∨V′=χ₁=1, 又因P, Q都是分明集, 所以对∀x∈X, 有P(x)=1或Q(x)=1成立, 于是(L^X, ω_L(τ))是强E_s Hausdorff空间, 所以(L^X, ω_L(τ))是SE_sT₂空间.

推论1  设(L^X, δ)是可拓扑生成的LF拓扑空间, 则(L^X, δ)是SE_sT_i空间的充要条件为它是E_sT_i空间, 其中i=1, 2, 3, 4.

定理3  SE_sT_i空间具有遗传性, 即若(L^X, δ)是SE_sT_i空间, Y是X的非空子集, 则(L^Y, δ|Y)也是SE_sT_i空间, 其中i=1, 2, 3, 4.

证明  以i=3为例.

设(L^X, δ)是SE_sT₃空间, 对∀y∈X, λ∈L, Y⊂X, A是Y上的任一非零准分明E_s闭集和x_λ是任一LF点, 且x∉sup pA.设x_λ^*和A^*分别为x_λ和A的扩张, 则x_λ^*为(L^X, δ)中的LF点, A^*是X上的任一非零准分明E_s闭集.因(L^X, δ)是SE_sT₃空间, 所以当x∉sup pA^*时, ∃P∈eη^-(x_λ^*)和Q∈eη^-(A^*)使∀x∈X, P(x)=1或Q(x)=1成立.显然有P|Y∈eη^-(x_λ)和Q|Y∈eη^-(A)且(P|Y)∨(Q|Y)=(P∨Q)|Y=1|Y.又x∉sup pA^*, 有x∉sup pA, 又因P|Y和Q|Y是分明集, ∀y∈Y, (P|Y)(y)=1或(Q|Y)(y)=1成立.故(L^Y, δ|Y)也是SE_sT₃空间.

定理4  设(L^X, δ)是{(L^X_t, δ_t)}_t∈T的乘积空间, 若∀t∈T, (L^X_t, δ_t)是SE_sT_i空间, 则(L^X, δ)是SE_sT_i空间.反过来, 若(L^X, δ)是SE_sT_i空间, 则∀r∈T, 当(L^X_r, δ_r)是满层空间时, (L^X_r, δ_r)是SE_sT_i空间, 其中i=1, 2.

证明  以i=1为例.

设∀t∈T, (L^X_t, δ_t)是SE_sT₁空间, x={x_t}_t∈T是(L^X, δ)上的LF点, 易知.由∀t∈T, (x_t)_λ是(L^X_t, δ_t)的LF点, 从而(x_t)_λ是(L^X_t, δ_t)中的E_s闭集, 由文献[2]中的定理2.8.11知, x_λ=是(L^X, δ)中的E_s闭集, 于是(L^X, δ)是SE_sT₁空间.

反过来, 设(L^X, δ)是SE_sT₁空间, ∀r∈T, (L^X_r, δ_r)是满层空间, 任取一点x={x_r}_r∈T∈X, 由文献[2]中的定理2.8.9知, (L^X, δ)的过点x且平行于(L^X_r, δ_r)的LF平面与(L^X_r, δ_r)同胚.因作为(L^X_r, δ_r)的子空间是SE_sT₁空间, 所以(L^X_r, δ_r)也是SE_sT₁空间.

定理5  设(L^X₁, δ₁)与(L^X₂, δ₂)是LF拓扑空间, f:L^X₁→L^X₂是强E_s同胚映射.若(L^X₁, δ₁)是SE_sT_i空间, 则(L^X₂, δ₂)也是SE_sT_i空间, 其中i=1, 2, 3, 4.

证明  以i=2为例.

设y₁, y₂是(L^X₂, δ₂)中的任意两个LF点, 且y₁∧y₂=0_X2, 则存在(L^X₁, δ₁)的两个LF点x₁, x₂, 使f(x₁)=y₁, f(x₂)=y₂, 且x₁∧x₂=0_X, 由(L^X₁, δ₁)是SE_sT₂空间, 故P∈eη^-(x₁)及Q∈eη^-(x₂), 使P=1_X1或Q=1_X1.令E=f(P), F=f(Q), 由f是单的E_s连续映射知, E∈eη^-(y₁)及F∈eη^-(y₂), 且E=1_X2或F=1_X2, 所以(L^X₂, δ₂)是SE_sT₂空间.

3 分离性

定义14  设(L^X, δ)是LF拓扑空间.若对任意一个非零的准分明E_s闭集和LF点x_λ, 当x∉sup pA时, 存在E_s连续的L值Zadeh型函数f:(L^X, δ)→I^*(L)使x_λ≤f^-1(0^*), A≤f^-1(1^*), 则称(L^X, δ)是完全E_s正则空间.称SE_sT₁的完全E_s正则空间为E_s-Tychonoff空间或空间.

注  设I表示单位区间[0, 1], ε表示I上的通常分明拓扑.由分明拓扑空间(I, ε)拓扑生成的LF拓扑空间(L^I, ω_L(ε)), 记为I^*(L).用t^*表示承点为t高度为1的LF点t₁.

命题4  .

证明  要证, 只需证完全E_s正则空间是强E_s正则空间.

设(L^X, δ)是完全E_s正则空间, A是非零的准分明E_s闭集, x_λ是任意一个LF点, 且x∉sup pA时.作E_s连续的L值Zadeh型函数f:(L^X, δ)→I^*(L)使x_λ≤f^-1(0^*), A≤f^-1(1^*).令P=f^-1(χ_{[1/2, 1]}), Q=f^-1(χ_{[0, 1/2]}), 则P∈eη^-(x_λ), Q∈eη^-(A), 且P∨Q=f^-1(χ_{[1/2, 1]}∨χ_{[0, 1/2]})=f^-1(1)=1.因P与Q都是分明集, 所以∀x∈X, P(x)=1或Q(x)=1成立, 故(L^X, δ)是强E_s正则空间.

引理1  设LF拓扑空间(L^X, δ)是完全E_s正则空间, 则对任意一个非零的准分明E_s闭集A和任意一个LF点x_λ, 当x∉sup pA时, 存在分明E_s集族μ={H_t|t∈(0, 1)}和分明E_s闭集P与Q使

(1)

(2)

(3)

证明  设(L^X, δ)是完全E_s正则空间, 则存在E_s连续的L值Zadeh型函数f:(L^X, δ)→I^*(L)使x_λ≤f^-1(0^*), A≤f^-1(1^*).∀t∈(0, 1), 令H_t=f^-1(χ_{[0, t)}), 由χ_{[0, t)}是I^*(L)中的E_s集且fE_s连续知H_t∈E^s(L^X).同理, ∀t∈(0, 1), 令G_t=f^-1(χ_{[0, t]}), 则G_t∈E^s*(L^X).由s < t知, (H_s)_E^-≤G_s≤H_t,

由f^-1既保并又保交, 故式(1)成立.

令P=f^-1(0^*), Q=f^-1(1^*), 则P与Q为E_s闭集且式(2)成立.

再由且χ_{[0, 1)}∨1^*=1, χ_{[0, 1)}∧1^*=0, 故式(3)成立.

显然, 对于L值Zadeh型函数f而言, 分明集在f之下的原像是分明集, 所以上面的H_t(t∈(0, 1)), P与Q都是分明集.

定理6  设(L^X, δ)是满层LF拓扑空间, 则(L^X, δ)是完全E_s正则空间的充要条件为对任意一个非零准分明E_s闭集A和任意一个LF点x_λ, 当x∉sup pA时, 存在分明E_s集族μ={H_t|t∈(0, 1)}和分明E_s闭集P与Q使

(4)

(5)

(6)

证明  必要性:由引理1易知.

充分性:定义分明映射f:X→[0, 1]如下:

(7)

由式(6)知, 对∀ν∈X, 都有f(ν)的定义.那么它诱导一个L值Zadeh型函数f:(L^X, δ)→I^*(L).由式(5)和(7)知f(x)=0, 于是x_λ≤P≤f^-1(0^*).又由式(5)和(7)知f(Q)≤1^*, 从而A≤Q≤f^-1(1^*).下证fE_s连续.设B是I^*(L)中任意一个E_s集, 只需证明f^-1(B)∈E^s(L^X).

① 设B=χ_{[0, r)}, 于是f^-1(B)是分明集.由B∧1^*=0知, f^-1(B)∩Q=∅, 此时f^-1(B)={ν∈X|f(ν) < r}.设f(ν) < r, 则由式(7)知∃t < r, 使ν∈H_t, 于是f^-1(B)⊂H_r.反过来, 设ν∈H_r, 由式(4)知∃t < r, 使ν∈H_t, 所以由式(7)知f(ν)≤t < r, 即f^-1(B)=H_r∈E^s(L^X).

② 设B=χ_{(s, 1]}, 于是f^-1(B)是分明集且f^-1(B)={ν∈X|f(ν)>s}.设ν∈f^-1(B), 即f(ν)>s, 取t使f(ν)>t>s, 则ν∉H_t, 于是.反过来, 设, 则∃t₀>s使ν∉H_t0.于是当ν∈H_t时t>t₀.所以f(ν)≥t₀>s, 即ν∈f^-1(B).故.因, 于是为E_s闭集, f^-1(B)∈E^s(L^X).

③ 设B=χ_{(a, b)}, 且(a, b)⊂[0, 1].因形如[0, t)与(s, 1]的E_s集构成ε的子基, 由f^-1既保并又保交知f^-1(B)∈E^s(L^X).

④ 设B是I上取常值λ(λ∈L)的LF集, 由(L^X, δ)是满层空间以及f是L值Zadeh型函数知f^-1(B)∈E^s(L^X).

⑤ ∀x_λ∈I^*(L)且x∈(0, 1), 有, 从而f^-1(x_λ)=f^-1([λ])∧(f^-1(χ_{(a, b)})), 由③, ④知, f^-1(x_λ)∈E^s(L^X); 当x=0, 1时, 同样可知f^-1(x_λ)∈E^s(L^X).

∀B∈I^*(L), 有, 从而, 由f^-1既保并又保交知f^-1(B)∈E^s(L^X).

综上, 对∀B∈E^s(L^I), 有f^-1(B)∈E^s(L^X).

引理2  设f:(X, τ)→(Y, μ)是分明映射, F:(L^X, ω_L(τ))→(L^Y, ω_L(μ))是它诱导出的L值Zadeh型函数, 则二者之一E_s连续的充要条件为另一个E_s连续.

证明  设f:(X, τ)→(Y, μ)是E_s连续, 则对Y上任意一个E_s集G, 有F^-1(χ_G)=χ_f^-1(G)∈E^s(L^X), 对Y上任意一个常值LF集[r], ∀x∈X, f^-1([r])(x)=[r]°f(x)=[r](f(x))=r, f^-1([r])是X上取常值的LF集, 于是F^-1(A)∈E^s(L^X), 此时A={rχ_G|G∈E^s(L^X), r∈L}是ω_L(μ)的E_s基.故L值Zadeh型函数F:(L^X, ω_L(τ))→(L^Y, ω_L(μ))是E_s连续.

反之, L值Zadeh型函数F:(L^X, ω_L(τ))→(L^Y, ω_L(μ))是E_s连续, 则对Y上任意一个E_s集G, 由χ_G∈ω_L(μ)知F^-1(χ_G)=χ_f^-1(G)∈E^s(L^X), 则f^-1(G)∈E^s(X).于是f:(X, τ)→(Y, μ)是E_s连续.

定义15  设(X, τ)是拓扑空间.若对∀x∈X, A⊂X且x∉A∈E^s*(X), 存在一个E_s连续映射f:X→[0, 1]使f(x)=0以及对∀y∈A有f(y)=1, 则称(X, τ)为完全E_s正则空间.称E_sT₁的完全E_s正则空间为E_s-Tychonoff空间或空间.

定理7  设(L^X, ω_L(τ))是由分明拓扑空间(X, τ)拓扑生成的LF拓扑空间, 则(L^X, ω_L(τ))是空间的充要条件为(X, τ)是空间.

证明  只需证明完全E_s正则性成立即可.

必要性:设(L^X, ω_L(τ))是完全E_s正则空间, x∈X, B∈E^s(X)且x∉B.令A=χ_B, 则A是(L^X, ω_L(τ))中的准分明E_s闭集且x∉sup pA, 于是存在E_s连续的L值Zadeh型函数f:(L^X, ω_L(τ))→(L^I, ω_L(ε))使x₁≤f^-1(0^*), A≤f^-1(1^*).由引理2知分明映射f:(X, τ)→(I, ε)E_s连续.易知, f(x)=0且∀y∈sup pA=B, f(y)=1, 所以(X, τ)是完全E_s正则空间.

充分性:设(X, τ)是完全E_s正则空间, A是(L^X, ω_L(τ))中的准分明E_s闭集, x_λ是X上的LF点且x∉sup pA.令B=sup pA, 由A是准分明E_s闭集知B是(X, τ)中的E_s闭集.又x∉B, 于是, 存在E_s连续函数f:(X, τ)→(I, ε)使f(x)=0且∀y∈sup pA=B, f(y)=1.由引理2知f诱导出的L值Zadeh型函数f:(L^X, ω_L(τ))→(L^I, ω_L(ε))E_s连续.显然x_λ≤f^-1(0^*), A≤f^-1(1^*), 故(L^X, ω_L(τ))是完全E_s正则空间.

定理8  设(L^X, δ)是由分明拓扑空间拓扑生成的LF拓扑空间, 若(L^X, δ)是空间, Y是X的非空子集, 则(L^Y, δ|Y)也是空间.

证明  设(L^X, δ)是由(X, τ)拓扑生成的, 即δ=ω_L(τ).若(L^X, δ)是空间, 由定理7知(X, τ)是空间.由一般拓扑中的已知结果知(Y, τ|Y)也是空间.由文献[2]的定理2.11.23知δ|Y=ω_L(τ|Y), 即(L^Y, δ|Y)是由(Y, τ|Y)拓扑生成的LF拓扑空间.因(Y, τ|Y)是空间, 由定理7知(L^Y, δ|Y)也是空间.

定理9  设(L^X, δ)是一族的{(L^X_t, δ_t)}_t∈T的乘积空间, 若∀t∈T, (L^X_t, δ_t)都是可拓扑生成的, 则(L^X, δ)是空间.

证明  设∀t∈T, δ_t=ω_L(τ_t), 此时τ_t是X_t上的分明拓扑, 由定理7知τ_t是的, 由文献[2]的定理2.11.25知δ=ω_L(τ), 此时τ是τ_t的乘积拓扑, (X, τ)是的, 由定理7知(L^X, δ)是空间.

定理10  设(L^X₁, δ₁)与(L^X₂, δ₂)是LF拓扑空间, f:L^X₁→L^X₂是强E_s同胚映射.若(L^X₁, δ₁)是完全E_s正则空间, 则(L^X₂, δ₂)也是完全E_s正则空间.

证明  设A是X₂上非零的准分明E_s闭集, x_λ是X₂上任意一个LF点, 则存在X₁上非零的准分明E_s闭集B, X₁上LF点y_μ, 使f(B)=A, f(y_μ)=x_λ.因(L^X₁, δ₁)是完全E_s正则空间, 当x∉sup pB时, 有E_s连续的L值Zadeh型函数g:(L^X₁, δ₁)→I^*(L)使y_μ≤g^-1(0^*), B≤g^-1(1^*).令h=g°f^-1, 当f(x)∉sup pA时, h:(L^X₂, δ₂)→I^*(L)是E_s连续的L值Zadeh型函数, 且f(B)=A, f(y_μ)=x_λ.于是, x_λ=f(y_μ)≤f(g^-1(0^*))=f°g^-1(0^*)=h^-1(0^*),

所以(L^X₂, δ₂)是完全E_s正则空间.

定义16^[17]  设是两个范畴, 若(1); (2), 有⊂; (3)中的态射的合成以及每一对象上的恒同态射都与中相同, 则称的子范畴.若的子范畴且对有, 则称的满子范畴.

定义17^[18]  设是范畴, {A_i}_i∈I是一对象集, 一个对象A与一个态射集{η_i}_i∈I组成的序偶(A, {η_i}_i∈I), 若(1)∀i∈I, η_i∈Hom(A, A_i); (2)对任意的对象D及∀i∈I, σ_i∈Hom(D, A_i), 存在唯一的f∈Hom(D, A), 使对∀i∈I, η_if=σ_i, 则称(A, {η_i}_i∈I)为{A_i}_i∈I的积.{A_i}_i∈I的积记为, 即.

定义18^[18]  设是范畴, {A_i}_i∈I是一对象集, 一个对象B与一个态射集{π_i}_i∈I组成的序偶(B, {π_i}_i∈I), 若(1)∀i∈I, π_i∈Hom(A_i, B); (2)对任意的对象D及∀i∈I, ζ_i∈Hom(A_i, D), 存在唯一的g∈Hom(B, D), 使对∀i∈I, gπ_i=ζ_i, 则称(B, {π_i}_i∈I)为{A_i}_i∈I的上积.{A_i}_i∈I的上积记为, 即.

定义19^[3]  设{(L^X_i, δ_i)}_i∈I是一族LF拓扑空间, ∀s, t∈I且s≠t有X_s∩X_t=∅, 令, 记为, 在L^X上定义{W_i}_i∈I的和拓扑如下:∀U∈L^X, , 则称为{(L^X_i, W_i)}_i∈I的和空间.

对同一Fuzzy格L, 以空间为对象, 以E_s连续的L值Zadeh型函数为态射组成空间范畴, 记为; 以空间为对象, 以E_s连续的L值Zadeh型函数为态射组成SE_sT₃空间范畴, 记为CSE_sT₃.

定理11  是CSE_sT₃的满子范畴, 是有积的范畴.

证明  由且都具有弱E_s拓扑不变性知, 是CSE_sT₃的满子范畴.

要证是有积的范畴, 只需证明若{(L^X_i, δ_i)}_i∈I是一对象集, 对象(L^X, δ)与态射集{P_i}_i∈I组成的序偶((L^X, δ), {P_i}_i∈I), 有, 其中, δ是以{P_i^-1(A_i)|A_i∈δ_i, i∈I}为子基的δ_i(i∈I)的积拓扑, P_i:L^X→L^X_i是由投影映射p_i:X→X_i诱导的L值Zadeh型函数.

事实上, (1)∀i∈I, P_i∈Hom((L^X, δ), (L^X_i, δ_i)); (2)对任意的对象D=(L^Y, ξ)及∀i∈I, σ_i∈Hom(D, (L^X_i, δ_i)), 定义g:Y→X为g(y)={x_i}_i∈I, 其中x_i=σ_i(y), 令x={x_i}_i∈I∈X, 设f:L^Y→L^X为g诱导的L值Zadeh型函数, ∀y∈Y, g(y)=x, ∀i∈I, p_ig(y)=x_i=σ_i(y), 于是p_ig=σ_i, 故∀B∈L^Y, P_i°f(B)(x_i)=∨{B(y)|p_i°g(y)=x_i}=∨{B(y)|σ_i(y)=x_i}=σ_i(B)(x_i), 所以P_if=σ_i, 又因σ_i为E_s连续的L值Zadeh型函数以及P_i是投影映射与乘积空间的性质知, f为E_s连续的L值Zadeh型函数, 易证这样的f是唯一的.于是对∀i∈I, 有交换图图 1成立.

定理12  是有上积的范畴.

只需证明若{(L^X_i, δ_i)}_i∈I是一对象集, 对象(L^X, δ)与态射集{P_i}_i∈I组成的序偶, 有, 其中, P_i:L^X_i→L^X是由包含映射p_i:X_i→X诱导的L值Zadeh型函数.