半群理论研究近年来取得了长足发展, 涉及到多类半群, 诸如C0半群、C-半群、积分半群、广义半群等, 国内外众多研究者对此也作了大量工作.文献[1]研究了C-半群的紧性, 给出了单参数C-半群的紧性概念.文献[2-9]引入了双参数C0半群及其无穷小生成元的定义, 讨论了双参数C0半群的一些性质, 如收敛性、范数连续性等.其后有许多学者对此也做了相应的研究.文献[10-13]对半群的拟紧性、直接紧性等作了一些探讨.文献[14-17]对双连续半群, 压缩半群及半群的扰动等作了讨论.由此, 单参数半群的理论研究变得更为丰富, 研究的方向也逐步拓展到双参数的情形.然而, 与单参数半群的理论研究相比较, 双参数半群的相应理论研究还存在些不足, 有待进一步研究.本文依据C0半群, 把单参数变为双参数, 将C0半群一些好的结论, 应用到双参数半群, 给出了双参数C0半群紧的定义, 得到了双参数C0半群的紧性性质.从而进一步完善了双参数C0半群的相关理论体系.
1 主要定义设X为Banach空间, B(x)表示X中有界算子全体构成的空间.I∈B(X)为恒等算子, L(X)表示X到自身的线性算子所构成的空间.
定义1[6] 若算子族(T(t, s))t, s≥0∈B(x)满足
(a) T(0, 0)=I;
(b) T((t1, s1)+(t2, s2))=T(t1, s1)T(t2, s2), ∀, t1, s1, t2, s2≥0;
(c) 映射(t, s)|→T(t, s)x强连续, ∀, t, s≥0, x∈X.
则称其为双参数C0半群.
定义2[6] 双参数C0半群(T(t, s))t, s≥0的无穷小生成元是线性变换L:R2→L(X), 定义为
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其中A1, A2分别为单参数C0半群(T(t, 0))t≥0和(T(0, t))t≥0的无穷小生成元, 即
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且
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定义3 设(T(t, s))t, s≥0是X上的双参数C0半群, 当t>t0, s>s0时, T(t, s)是紧的, 则称双参数C0半群(T(t, s))t, s≥0当t>t0, s>s0时是紧的; 若当t>0, s>0时, T(t, s)是紧的, 则称双参数C0半群(T(t, s))t, s≥0是紧的.
2 主要结果及证明定理1 假定(T(t, s))t, s≥0是双参数C0半群, 且当t>t0, s>s0时, T(t, s)紧的, 则T(t, s)在t>t0, s>s0时按一致算子拓扑连续.
证明 设(T(t, s))t, s≥0是X上的双参数C0半群, 其无穷小生成元是(A1, A2), 则∃ω≥0, M≥1, 使得‖T(t, s)‖≤Mexp(ω(s+t)).当0≤t≤1, 0≤s≤1时, 有
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∀ε>0, 当t>t0, s>s0时, Ut≡{T(t, s)x}是紧集.因此, 存在有限个点x1, x2, …xn∈Ut, 使得以xi(i=1, 2, …n.)为中心, 以
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从而对x∈Ut, 取i∈{1, 2, …n}, 使得
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则T(t, s)在t>t0, s>s0时按一致算子拓扑连续.
定理2 设(T(t, s))t, s≥0是X上的双参数C0半群, 其无穷小生成元是(A1, A2), 令A=(A1, A2)
证明 设‖T(t, s)‖≤Mexp(ω(t+s)), ω≥0, M≥1, t, s≥0,
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由定理1可知, T(t, s), t>0, s>0按一致算子拓扑连续.又T(t, s), t>0, s>0是紧的, 所以Rε(λ)也是紧的.
又因
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从而R(λ; A)作为紧线性算子的一致极限也是紧的.
由预解方程
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可知若R(λ; A)对某一λ∈ρ(A)是紧的, 那么R(λ; A)对任意λ∈ρ(A)都是紧的.
定理3 设(T(t, s))t, s≥0是X上的双参数C0半群, 其无穷小生成元是(A1, A2), 令
证明 设‖T(t, s)‖≤Mexp(ω(t+s)), ω≥0, M≥1, t, s≥0, 因
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则有
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由于T(t, s)有界, 从而
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又因为R(λ; A)是紧的, λ∈ρ(A), 所以λR(λ, A)T(t, s)是紧的, 从而(T(t, s))t, s≥0作为紧算子的极限也是紧的, 即双参数C0半群(T(t, s))t, s≥0是紧的.
推论1 设(T(t, s))t, s≥0是X上的双参数C0半群, 其无穷小生成元是(A1, A2), 令
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