1 引言与主要结果

设Z, N分别是全体整数和正整数的集合.对任意正整数a, 设σ(a)是a的所有约数之和.在初等数论中, 众多有趣的问题都与算术函数σ(a)有关(参见文献[1]). 1657年, Fermat^[2]首次研究了方程

(1)

的解(x, y).Nagell^[3]和Ljunggren^[4]给出了关于方程

(2)

的两个经典结果, 即如果x是素数方幂, 则方程(1)仅有解(x, y)=(7, 20).此后, 学者们对此方程进行了大量研究, 有关结果可参见文献[5-13].

设p是一个奇素数, r, s是正整数.本文将研究方程(1)的适合

(3)

的解(x, y). 2005年, 乐茂华^[14]证明了如果r=s=1, 则方程(1)没有适合方程(3)的解(x, y).最近, 苟素^[15]指出了s=1这个条件可从文献[14]的结果中去掉.本文证明了以下一般性的结果.

定理1  当满足下列条件之一时, 方程(1)没有适合方程(3)的解(x, y)：

(ⅰ) 2 r, p≡1 (mod 6);

(ⅱ) 2r, p≡5 (mod 6), 2|s;

(ⅲ) 2rs, p是Fermat素数.

2 若干引理

引理1  如果a=p₁^r₁…p_k^r_k是a的素数幂分解, 则

证明  参见文献[16]中定理1.9.1.

引理2  对任意的适合2r的正整数r, 可得3‖2^3r+1-1.

证明  因为2|3r+1, 所以3r+1=2t, 其中t是适合3t的正整数.故可得2^3r+1-1=2^2t-1=(2²-1)(2^2(t-1)+…+2²+1)且2^2(t-1)+…+2²+1≡t≠0 (mod 3), 由此可知3|2^3r+1-1且3²2^3r+1-1.引理2证完.

引理3  设D是正整数但非平方数, 则方程

(4)

有解(u, v)且有唯一的使得的解(u₁, v₁), 其中(u, v)取遍方程(4)的所有解.称(u₁, v₁)为方程(4)的最小解，方程(4)的每一个解(u, v)可表示为

(5)

证明  参见文献[16]中定理10.9.1和10.9.2.

引理4  如果方程(4)有适合2|u的一组解(u, v), 则最小解(u₁, v₁)满足2|u₁.

证明  根据引理3可知, (u, v)可表示为式(5).因为2|u, 从式(5)可得2k且

(6)

而且, 由于u₁²-Dv₁²=1, 所以u₁²和Dv₁²一奇一偶.这表明

是奇数.因此, 从式(6)可知, 2|u₁.引理4证完.

引理5  方程

仅有解(X, Y, m)=(23, 78, 3)和(13, 239, 4).

证明  参见文献[17-18].

3 定理的证明

设(x, y)是方程(1)的一组适合方程(3)的解.因为p是奇素数, 根据引理1, 从方程(1)和方程(3)可得

(7)

从式(7)可知

(8)

d是无平方因子.

如果2r, 则根据引理2可知, 3‖2^3r+1-1.因此, 从式(8)中第一个等式可得3|d.结合式(8)中第二个等式可知

(9)

又因为

(10)

所以对于情况(ⅰ)和(ⅱ), 式(9)是错误的.这表明方程(1)在这些情况中没有适合(3)的解.

如果2rs且p是Fermat数, 则

(11)

当n=0时, 从式(11)可知, p=3且式(9)是错误的.故有n≥1.于是从式(8)和式(10)可得, 方程

(12)

有两个解, 即

(13)

根据引理4, 从式(13)的第一组解中可知, (u₁, v₁)满足2|u₁.所以, 根据引理3可得, 式(13)的第二组解可表成

(14)

设.于是根据引理3可知, (u₂, v₂)也是式(12)的一组解.因此, 从式(14)可得

(15)

由文献[15]的结果可知, s≠1, s≥3且(3S+1)/2≥5.但是, 根据引理5可得, 式(15)是错误的.定理1证完.