在各类超声加工及复合加工系统中，利用超声变幅杆可放大位移或速度, 是非常重要的部件.对指数形、圆锥形、悬链线形以及阶梯形纵向振动变幅杆的研究和应用已比较成熟[1-9].变幅杆设计理论通常要求横向尺寸小于1/4声波波长, 即可忽略横向振动对纵向振动的影响.但在超声冷拔管、超声焊接及超声乳化等应用中，要求大功率和高声强超声, 就需大尺寸变幅杆系统[10].此时由于泊松效应横向振动对纵向振动的影响不能被忽略, 一维设计理论引起的误差比较大, 因此需进行相应的修正.文献[11]对指数形变幅杆进行了频率修正; 文献[12]对大尺寸矩形截面变幅杆进行了修正; 文献[13]研究了大尺寸余弦变幅杆; 文献[14]系统地对各类常见超声变幅杆的设计原理进行全面介绍.文献[15-16]分别对大尺寸中间有孔的圆锥型变幅杆和实心圆锥变幅杆进行修正.文献[17]对大尺寸抛物线形超声变幅杆的频率进行修正.以上文献均是对单一形状变幅杆的修正, 但大尺寸复合型变幅杆在大功率和高声强的超声领域应用广泛, 因此有必要研究其频率及振动特性.本文用瑞利能量法修正了大尺寸圆锥复合变幅杆的纵向振动频率并推导出频率修正表达式, 修正后的结果比一维理论适用范围更广, 更接近有限元模拟值和实验测试值.最后研究大尺寸圆锥复合变幅杆的振动特性.
1 圆锥型复合变幅杆的纵向振动分析复合变幅杆两端为圆柱, 中间为圆锥过渡段, 且由各向同性均匀材料构成.由文献[17]可得圆锥复各段的位移函数及频率方程为
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(1) |
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(2) |
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(3) |
圆锥型复合变幅杆的频率方程为
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(4) |
其中
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瑞利近似理论[11, 13]假设:(1) 同一截面的质点的纵向位移ξ(x, t)与半径r无关.(2) 质点的径向位移与其半径成正比且同相位.由瑞利假设可将大尺寸变幅杆的径向应变表示为
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(5) |
径向振动引起的动能为
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(6) |
设m0是纵向振动的等效质量, Δm0是考虑径向振动引起动能增量所对应的等效质量, 则有
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由系统固有频率与等效质量的平方根成反比, 可得
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(7) |
其中，f为未考虑径向振动的固有频率, f′为修正后固有频率.由式(7) 可得修正后变幅杆固有频率减小.
2.2 大尺寸复合变幅杆振动频率的瑞利修正由式(1)~(3) 可得圆锥复合型变幅杆各段的纵向振速及径向振速分别为
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(8) |
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(9) |
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(10) |
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(11) |
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(12) |
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(13) |
将式(8)，(10)，(12) 分别代入式(5), 计算可得圆锥型复合变幅杆的纵向振动动能为
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(14) |
将式(9)，(11)，(13) 分别代入式(6), 计算可得圆锥型复合变幅杆的径向振动动能为
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(15) |
其中,
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将式(14)，(15) 代入式(7) 可得到修正后复合变幅杆的频率表达式.
3 有限元与理论值的比较设计了几组不同尺寸的复合圆锥型变幅杆验证以上理论, 并将一维振动理论计算值和修正值与有限元模拟值进行比较.取材料为45号钢, 密度为ρ=7 850 kg/m3, 杨氏模量为E=2.06×1011 Nm-2, 泊松系数为σ=0.28.为了便于比较, 取复合变幅杆的各段长度及面积系数N都不变, 使宽端和窄端半径R1，R2呈相同比例增加, 具体参数见表 1.宽端和窄端半径R1, R2，大小段长度l1, l3及面积系数N都不变, 过渡段l2减小, 所对应变幅杆频率见表 2.各表中f1为一维纵振动固有频率, f2为修正后频率, f3为有限元模拟频率, Δf1, Δf2分别为一维理论值和修正结果与有限元结果比较所得相对误差.
| R1/mm | R2/mm | f1/kHz | f2/kHz | f3/kHz | Δf1/% | Δf2/% |
| 27 | 9 | 20 | 20.020 | 19.746 | 1.28 | 1.39 |
| 36 | 12 | 20 | 20.022 | 19.523 | 2.44 | 2.56 |
| 48 | 16 | 20 | 19.758 | 19.142 | 4.48 | 3.22 |
| 54 | 18 | 20 | 19.439 | 18.786 | 3.52 | 3.48 |
| 60 | 20 | 20 | 19.138 | 18.445 | 6.45 | 3.76 |
| 69 | 23 | 20 | 18.765 | 17.876 | 11.80 | 4.98 |
| 78 | 26 | 20 | 17.974 | 16.916 | 18.20 | 6.26 |
| 84 | 28 | 20 | 17.905 | 16.325 | 22.50 | 9.68 |
| 90 | 30 | 20 | 16.997 | 15.069 | 32.70 | 12.80 |
由表 1可以看出, 复合变幅杆的各段长度及面积系数N都不变, 随宽端和窄端半径R1, R2的同比增加, 变幅杆频率不断减小.且半径越大能量修正结果与一维纵振动结果间误差越大, 但与有限元结果间误差较小.表明本文修正后的频率值更接近实际, 变幅杆尺寸越大横向效应越明显, 此时一维理论将不适用.
4 大尺寸复合变幅杆振动特性分析各段长度l1, l2, l3分别对大截面圆锥型复合型变幅杆谐振频率的影响, 在分析每一种长度影响时, 其他参量不变.结果见表 2, 表中f1, f2, f3分别为长度l1, l2, l3变化时对应系统的谐振频率.
| l1/mm | f1/kHz | l2/mm | f2/kHz | l3/mm | f3/kHz |
| 35 | 17.863 | 90 | 17.863 | 35 | 17.863 |
| 40 | 17.525 | 95 | 17.394 | 40 | 17.203 |
| 45 | 17.203 | 100 | 16.942 | 45 | 16.545 |
| 50 | 16.896 | 105 | 16.506 | 50 | 15.914 |
| 55 | 16.584 | 110 | 16.186 | 55 | 15.306 |
从表 2可以看出, 变幅杆各段长度的变化对大截面圆锥型复合变幅杆谐振频率的影响程度不同, 随长度增加系统谐振频率在减小.对比可以看出当其他参数不变, 各段的长度变化相同时，相同长度的改变对应系统共振频率的影响l3>l2>l1, 此结论和小截面复合变幅杆结果一致, 因此在实际应用大截面变幅杆时应考虑到各段长度对系统谐振频率的影响, 其结果可作为实际应用大截面复合变幅杆时系统频率调节的参考依据.
5 实验为验证径向尺寸对变幅杆纵向振动的影响, 采用一点激励多点响应的锤击法对不同尺寸复合变幅杆的纵向振动频率进行测试, 实验装置如图 1.在待测变幅杆的两端面贴上8个加速度传感器, 尽量使传感器粘贴面与变幅杆端面平行, 以保证测试的精度, 再将脉冲锤和传感器分别与DASP数据采集系统相连并设置采样频率范围为(1~22) kHz, 分辨率为1 Hz.结果如表 3所示, 表中R1, R2分别为复合变幅杆大、小端半径, f1为工作频率, f2为ANSYS模拟频率, f3为实验所测频率, Δf1为模拟频率与工作频率相对误差, Δf2为实验测试频率与工作频率相对误差.从表 3比较可得，有限元计算结果和实验测试结果与工作频率比较一致, 表明实验数据的正确性.但随着复合变幅杆径向尺寸的增大, 工作频率与有限元计算结果和实验测试结果的误差也增加.当径向尺寸接近半波长时, 相对偏差已超过5%, 此时一维纵振理论不再适用于大尺寸变幅杆.
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| 图 1 实验测试装置图 Fig.1 Experimental test equipment |
| R1/mm | R2/mm | f1/kHz | f2/kHz | f3/kHz | Δf1/% | Δf2/% |
| 54 | 18 | 20 | 18.786 | 19.044 | 6.04 | 4.78 |
| 60 | 20 | 20 | 18.445 | 19.876 | 7.71 | 5.12 |
| 69 | 33 | 20 | 17.876 | 18.028 | 10.60 | 9.86 |
用瑞利近似理论对大尺寸圆锥型变幅杆的纵向振动频率进行修正, 推导出修正频率表达式.将修正后的数值计算值与一维理论的计算值及实验结果进行对比，可得修正后的频率值更接近有限元的仿真值及实验测试值.同时，大尺寸圆锥型复合变幅杆谐振频率随长度增加而减小，但变幅杆各段长度对谐振频率的影响程度不同.对比可以看出当其他参数不变时, 各段同等长度的改变对应系统共振频率的影响为l3>l2>l1, 研究结果为大尺寸复合变幅杆实际应用提供频率调节的依据.
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