0 引言

近年来, 随着种群生态学的发展, 种群生物模型(尤其是捕食-食饵模型)引起了国内外学者的极大关注.文献[1]讨论了一类具有修正的Leslie-Gower与Holling Ⅱ反应函数的不带交叉扩散的捕食-食饵模型解的有界性和全局渐近稳定性; 文献[2]利用锥上不动点理论和线性稳定性理论研究了一类具有Holling Ⅲ型捕食-食饵模型平衡态正解的存在性与稳定性; 文献[3]利用极值原理和分歧理论研究了一类在Dirichlet边界条件下带有广义Holling Ⅲ型功能反应项的修正型Leslie捕食食饵模型的平衡态正解的局部分歧以及全局分歧.但以上研究都没有考虑到种群间的交叉扩散的影响.事实上, 在某些生态系统中, 种群间的相互影响在种群扩散中也起着非常重要的作用^[4-14].据此研究具有Leslie-Gower与Holling Ⅱ反应函数的带有交叉扩散的捕食-食饵模型将尤为重要.对于无交叉扩散的情形, 文献[15-16]主要讨论了其正解的存在性, 唯一性, 稳定性以及其脉冲效应.本文在文献[15-16]的基础上考察如下带有交叉扩散和修正的Leslie-Gower与Holling Ⅱ反应项的捕食-食饵模型

$ \left\{ \begin{array}{l} - \Delta \left[ {\left( {1 + av} \right)u} \right] = u\left( {a - u - cv/\left( {{k_1} + u} \right)} \right),\;\;\;\;\;x \in \mathit{\Omega ,}\\ - \Delta \left[ {\left( {1 + \beta u} \right)v} \right] = v\left( {b - bv/\left( {{k_2} + u} \right)} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \mathit{\Omega ,}\\ u = v = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \partial \mathit{\Omega }\mathit{.} \end{array} \right. $

(1)

其中Δ为Laplace算子, Ω为Rⁿ中具有光滑边界的有界开区域, u, v分别为食饵和捕食者的浓度, a, m, k₁, b, c, k₂都是正常数, α和β分别是食饵和捕食者的扩散系数, 其他生物意义参考文献[1].

$ 令U = \left( {1 + av} \right)u,V = \left( {1 + \beta u} \right)v. $

因为$\frac{{\partial \left( {U, V} \right)}}{{\partial \left( {u, v} \right)}} = \left( {1 + \alpha v} \right)\left( {1 + \beta u} \right)-\alpha \beta uv = 1 + \beta u + \alpha v > 0$, 所以在R₊²={u≥0, v≥0}上, 映射(u, v)→(U, V)是连续可逆的, 故(u, v)和(U, V)之间存在一一对应关系, 那么式(1) 等价于如下椭圆系统

$ \left\{ \begin{array}{l} - \Delta U = u\left( {a - u - \frac{{cv}}{{{k_1} + u}}} \right),\;\;\;\;\;x \in \mathit{\Omega ,}\\ - \Delta V = v\left( {b - \frac{{dv}}{{{k_2} + u}}} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \mathit{\Omega ,}\\ U = V = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \partial \mathit{\Omega }\mathit{.} \end{array} \right. $

(2)

其中, (u, v)为(U, V)的函数.显然式(2) 存在平凡解(0, 0).此外, 若a>λ₁, 则式(2) 存在半平凡解(U_*, V_*)=(θ_a, 0);若b>λ₁, 则式(2) 存在半平凡解$\left( {{U^*}, {V^*}} \right) = \left( {0, \frac{{{k_2}}}{d}{\theta _b}} \right)$.本文主要利用极大值原理和度理论讨论方程(2) 正解的先验估计以及正解的存在性.

1 预备知识

考察如下特征值问题^[3]

$ - \Delta \varphi + q\left( x \right)\varphi = \lambda \varphi ,x \in \mathit{\Omega ,}\varphi \mathit{ = }0,x \in \partial \mathit{\Omega }\mathit{.} $

(3)

设$q\left( x \right) \in C\left( {\mathit{\bar \Omega }} \right)$, 则式(3) 的所有特征值满足

$ 0\mathit{ < }{\lambda _1}\left( q \right) < {\lambda _2}\left( q \right) \le {\lambda _3}\left( q \right) \le \cdots \to \infty . $

(4)

相应的特征函数为φ₁, φ₂, …, 其主特征值

$ {\lambda _1}\left( q \right) = \mathop {\inf }\limits_{\varphi \in H_0^1,\left\| \varphi \right\| = 1} \left\{ {{{\left\| {\nabla \varphi } \right\|}^2} + \int_\mathit{\Omega } {q\left( x \right){\varphi ^2}{\rm{d}}x} } \right\}. $

(5)

是单重的.而且, 有如下比较定理:若q₁≥q₂, 则λ_j(q₁)≥λ_j(q₂), 且若${q_1}\not \equiv {q_2}$, 则λ_j(q₁)>λ_j(q₂), 记λ₁=λ₁(0), 相应的特征函数记为φ₁>0.其中‖·‖表示L²(Ω)范数.

考虑单个方程

$ - \Delta u + q\left( x \right)u = u\left( {a - u} \right),x \in \mathit{\Omega },u = 0,x \in \mathit{\Omega }. $

(6)

由文献[3]和[17]知:若a≤λ₁(q(x)), 则u=0是式(6) 的唯一非负解; 而当a>λ₁(q(x))时, 式(6) 存在唯一正解.当q(x)=0, a>λ₁时把这个唯一正解记为θ_a.特别地, θ_a关于a严格单调递增且连续可微.∀x∈Ω, 有0 < θ_a < a.

设E是一个Banach空间, W⊂E称为一个楔, 如果W是一个非空闭凸集, 并且∀β≥0, 都有βW⊂W.若W是楔, 并且W∩(-W)=0, 则W是E中的一个锥.设W⊂E是一个楔, 对于y⊂W, 定义

$ {W_y} = \left\{ {x \in E:\exists r > 0,{\rm{s}}.{\rm{t}}.y + rx \in W} \right\},{S_y} = \left\{ {x \in {{\bar W}_y}\left| { - x \in {{\bar W}_y}} \right.} \right\}. $

引理1^[18]  令q(x)∈C(Ω), 且u≥0, μ∈0(x∈Ω).则有

(ⅰ)如果0∈-Δφ+q(x)φ≤0, 那么λ₁(q(x)) < 0;

(ⅱ)如果0∈-Δφ+q(x)φ≥0, 那么λ₁(q(x))>0;

(ⅲ)如果-Δφ+q(x)φ≡0, 那么λ₁(q(x))=0.

记r(T)是Banach空间上的线性算子T的谱半径.

引理2^[15]  令q(x)∈C(Ω), P为正常数使得∀x∈Ω, -q(x)+P>0.那么以下结论成立:

(ⅰ) λ₁(q(x)) < 0$\Leftrightarrow $r[(-Δ+P)(-q(x)+P)]>1;

(ⅱ) λ₁(q(x))>0$\Leftrightarrow $r[(-Δ+P)(-q(x)+P)] < 1;

(ⅲ) λ₁(q(x))=0$\Leftrightarrow $r[(-Δ+P)(-q(x)+P)]=1.

引理3^{[2, 18]}  设W是E中的一个楔, A:W→W是紧映射, 且存在不动点y₀∈W, 使得Ay₀=y₀.令L=A′(y₀)是A在y₀处的Fréchet导数, 则L:W_y0→W_y0.如果I-L在E上可逆, 并且

(ⅰ) L在W_y0上具有α性质, 则index_W(A, y₀)=0;

(ⅱ) L在W_y0上不具有α性质, 则index_W(A, y₀)=(-1)^σ, 其中σ是L大于1的特征值的代数重数之和.

则称L具有α性质, 是指如果存在t∈(0, 1), w∈W_y\S_y, 使得w-tLw∈ S_y, W_y, S_y的定义如前面所述.

2 先验估计

定理1  设a, b>λ₁.若(U, V)是式(2) 的任一正解，则∀x∈Ω, 有

$ 0 < u\left( x \right) < U\left( x \right) \le M = M\left( a \right): = \left[ {1 + \frac{{a\alpha }}{c}\left( {{k_1} + a} \right)} \right]a, $

$ 0 < v\left( x \right) < V\left( x \right) \le R = R\left( b \right): = \frac{b}{d}\left( {1 + \beta M} \right)\left( {{k_2} + M} \right). $

证明  设存在x₁∈Ω, 使得$U\left( {{x_1}} \right) = \mathop {\max }\limits_{{x_1} \in \mathit{\bar \Omega }} U\left( x \right)$.由于

$ 0 \le - \Delta U\left( {{x_1}} \right) = u\left( {{x_1}} \right)\left( {a - u\left( {{x_1}} \right) - \frac{{cv\left( {{x_1}} \right)}}{{{k_1} + u\left( {{x_1}} \right)}}} \right), $

从而有

$ u\left( {{x_1}} \right) < a,v\left( {{x_1}} \right) < \frac{a}{c}\left( {{k_1} + u\left( {{x_1}} \right)} \right). $

因此有

$ U\left( x \right) \le U\left( {{x_1}} \right) = \left( {1 + \alpha v\left( {{x_1}} \right)} \right)u\left( {{x_1}} \right) < \left[ {1 + \frac{{a\alpha }}{c}\left( {{k_1} + u\left( {{x_1}} \right)} \right)} \right]u\left( {{x_1}} \right) < \left[ {1 + \frac{{a\alpha }}{c}\left( {{k_1} + a} \right)} \right]a. $

同理可得

$ V\left( x \right) \le V\left( {{x_2}} \right) = \left( {1 + \beta u\left( {{x_2}} \right)} \right)v\left( {{x_2}} \right) < \left( {1 + \beta u\left( {{x_2}} \right)} \right) \cdot \frac{b}{d}\left( {{k_2} + u\left( {{x_2}} \right)} \right) < \frac{b}{d}\left( {1 + \beta M} \right)\left( {{k_2} + M} \right). $

定理2  如果a≤λ₁或b≤λ₁时, 那么式(2) 没有正解.

证明  假设式(2) 存在正解(U, V), 由式(2) 关于U的方程可得

$ - \Delta U = \frac{U}{{1 + \alpha v}}\left( {a - u - \frac{{cv}}{{{k_1} + u}}} \right) < aU. $

两边同时乘以U, 结合格林公式得

$ \int_\mathit{\Omega } {{{\left| {\nabla U} \right|}^2}{\rm{d}}x} = \left\| {\nabla U} \right\|_2^2 < a\left\| U \right\|_2^2. $

由Poincaré不等式‖∇U‖₂²≥λ₁‖U‖₂²得a>λ₁.同理可得b>λ₁.因此当a≤λ₁或b≤λ₁时, 式(2) 没有正解.

3 正解的存在性

引入以下记号:E=C₀(Ω)⊕C₀(Ω), 其中C₀(Ω)={u∈C(Ω):u=0, x∈∂Ω}; W=K⊕K, 其中K={u∈C₀(Ω):u(x)≥0, x∈Ω}; D={(u, v)∈E:u≤M+1, V≤R+1};D′=(intD)∩W.

定义算子A:D′→W，即

$ \begin{array}{*{20}{c}} {A\left( {U,V} \right) = {{\left( { - \Delta + P} \right)}^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {U\left\{ {P + \frac{1}{{1 + \alpha v}}\left( {a - u - \frac{{cv}}{{{k_1} + u}}} \right)} \right\}}\\ {V\left\{ {P + \frac{1}{{\beta u}}\left( {b - \frac{{du}}{{{k_2} + u}}} \right)} \right\}} \end{array}} \right) = }\\ {{{\left( { - \Delta + P} \right)}^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {F\left( {u,v} \right) + PU}\\ {G\left( {u,v} \right) + PV} \end{array}} \right),} \end{array} $

其中

$ F\left( {u,v} \right) = u\left( {a - u - \frac{{cv}}{{{k_1} + u}}} \right),G\left( {u,v} \right) = v\left( {b - \frac{{du}}{{{k_2} + u}}} \right). $

P是充分大的常数, 使得

$ P + \frac{1}{{1 + \alpha v}}\left( {a - u - \frac{{cv}}{{{k_1} + u}}} \right) > 0,P + \frac{1}{{1 + \beta u}}\left( {b - \frac{{du}}{{{k_2} + u}}} \right) > 0 $

由极大值原理知(-Δ+p)^-1是一个紧线性正映射, A全连续且Fréchet可导.则A的正不动点就是方程(2) 的正解.显然式(2) 存在平凡解(0, 0), 此外, 若a>λ₁, 则式(2) 存在半平凡解(U_*, V_*)=(θ_a, 0);若b>λ₁, 则式(2) 存在半平凡解(U^*, V^*)=$\left( {0, \frac{{{k^2}}}{d}{\theta _b}} \right)$.

$ A'\left( {U,V} \right) = {\left( { - \Delta + P} \right)^{ - 1}}\left[ {P + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_u}}&{{F_v}}\\ {{G_u}}&{{G_v}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_U}}&{{u_V}}\\ {{v_U}}&{{v_U}} \end{array}} \right)} \right], $

其中

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_u}}&{{F_v}}\\ {{G_u}}&{{G_v}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a - 2u - \frac{{c{k_1}v}}{{{{\left( {{k_1} + u} \right)}^2}}}}&{ - \frac{{cv}}{{{k_1} + u}}}\\ {\frac{{d{v^2}}}{{{{\left( {{k_2} + u} \right)}^2}}}}&{b - \frac{{2dv}}{{{k^2} + u}}} \end{array}} \right), $

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_U}}&{{u_V}}\\ {{v_U}}&{{v_U}} \end{array}} \right) = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + \alpha v}&{\alpha u}\\ {\beta v}&{1 + \beta u} \end{array}} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{{1 + \alpha v + \beta u}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + \beta u}&{ - \alpha u}\\ { - \beta v}&{1 + \alpha v} \end{array}} \right), $

因此可以得到

$ A'\left( {U,V} \right) = {\left( { - \Delta + P} \right)^{ - 1}}\left[ {P + \frac{1}{{1 + \alpha v + \beta u}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a - 2u - \frac{{c{k_1}}}{{v{{\left( {{k_1} + u} \right)}^2}}}}&{ - \frac{{cv}}{{{k_1} + u}}}\\ {\frac{{d{v^2}}}{{{{\left( {{k_2} + u} \right)}^2}}}}&{b - \frac{{2dv}}{{{k^2} + u}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + \beta u}&{ - \alpha u}\\ { - \beta v}&{1 + \alpha v} \end{array}} \right)} \right]. $

引理4  假设a>λ₁, 则有

(ⅰ)若b≠0, 则index_W(A, (0, 0))=0;

(ⅱ)若${\lambda _1}\left( {-\frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right) < 0$, 则index_W(A, (θ_a, 0))=0;若${\lambda _1}\left( {-\frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right) > 0$, 则index_W(A, (θ_a, 0))=1.

证明  (ⅰ)令L=A′(0, 0), 其中A′(0, 0) 是A在(0, 0) 处的Fréchet导数.直接计算得W_{(0, 0)}=W, S_{(0, 0)}=(0, 0),

$ L = {\left( { - \Delta + P} \right)^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a + P}&0\\ 0&{b + P} \end{array}} \right). $

先证明I-L在W_{(0, 0)}上可逆.如果存在(ξ, η)∈W_{(0, 0)}, 使得L(ξ, η)^T=(ξ, η)^T，则有-Δξ=aξ, x∈Ω, ξ=0, x∈∂Ω.如果ξ>0, 则a=λ₁, 矛盾.故ξ≡0.同理η≡0.这说明I-L在W_{(0, 0)}上可逆.

接着证明L具有α性质.因为a>λ₁, 由引理2知, r_a=r[(-Δ+P)^-1(a+P)]>1, 同时r_a是算子(-Δ+P)^-1(a+P)的主特征值, 对应的特征函数φ>0, 取t₀=r_a^-1, 则0 < t₀ < 1且(I-t₀L)(φ, 0)^T=(0, 0)^T∈S_{(0, 0)}.因此L具有α性质.由引理3知index_W(A, (0, 0))=0.

(ⅱ)若${\lambda _1}\left( {-\frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right) < 0$, 令L=A′(θ_a, 0), 其中A′(θ_a, 0) 是A在(θ_a, 0) 处的Fréchet导数.直接计算得W_{(θa, 0)}=C₀(Ω)⊕K, S_{(θa, 0)}=C₀(Ω)⊕(0, 0), W_{(θa, 0)}\S_{(θa, 0)}=C₀(Ω)⊕{K\0},

$ L = \left( { - \Delta + P} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {P + a - 2{\theta _a}}&{ - \frac{{\alpha {\theta _a}\left( {a - 2{\theta _\alpha }} \right)\left( {{k_1} + {\theta _a}} \right) + c{\theta _a}}}{{\left( {1 + \beta {\theta _a}} \right)\left( {{k_1} + {\theta _a}} \right)}}}\\ 0&{P + \frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \end{array}} \right). $

首先证明I-L在W₍θ_a, 0) 上可逆.假定存在(ξ, η)∈W_{(θa, 0)}, 使L(ξ, η)^T=(ξ, η)^T.则有

$ \left\{ \begin{array}{l} - \Delta \xi = \left( {a - 2{\theta _a}} \right)\xi - \frac{{\alpha {\theta _a}\left( {a - 2{\theta _\alpha }} \right)\left( {{k_1} + {\theta _a}} \right) + c{\theta _a}}}{{\left( {1 + \beta {\theta _a}} \right)\left( {{k_1} + {\theta _a}} \right)}}\eta ,\;\;\;\;\;\;\;x \in \mathit{\Omega ,}\\ - \Delta \eta = \frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}\eta ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \mathit{\Omega ,}\\ \xi = \eta = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \partial \mathit{\Omega }\mathit{.} \end{array} \right. $

(7)

如果η>0, 由式(7) 的第2个方程知${\lambda _1}\left( {-\frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right) = 0$, 与已知条件(ⅱ)矛盾.故η≡0.把η≡0代入式(7) 第1个方程得

$ \left\{ \begin{array}{l} - \Delta \xi = \left( {a - 2{\omega _a}} \right)\xi ,\;\;\;x \in \mathit{\Omega ,}\\ \xi = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \partial \mathit{\Omega }\mathit{.} \end{array} \right. $

(8)

如果ξ≠0, 则λ₁(2θ_a-a)≤0.由特征值的相关性质知λ₁(2θ_a-a)>λ₁(θ_a-a)=0, 矛盾.故ξ≡0, 故I-L在W_{(θa, 0)}上可逆.

接着证明L在W_{(θa, 0)}具有α性质.因为${\lambda _1}\left( {-\frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right) < 0$, 由引理2有r(T)>1, 其中T:=(-Δ+P)$\left( {P + \frac{b}{{2 + \beta {\theta _a}}}} \right)$, 同时r(T)是算子T的主特征值, 对应的特征函数φ∈{K\0}.取t=r_T^-1, 则0 < t < 1, (0, φ)∈W_{(θa, 0)}\S_{(θa, 0)}, 且

$ \begin{array}{l} \left( {I - tL} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ \varphi \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {t{{\left( { - \Delta + P} \right)}^{ - 1}}\frac{{\alpha {\theta _a}\left( {a - 2{\theta _a}} \right)\left( {{k_1} + {\theta _a}} \right) + c{\theta _a}}}{{\left( {1 + \beta {\theta _a}} \right)\left( {{k_1} + {\theta _a}} \right)}}\varphi }\\ {\varphi - t{{\left( { - \Delta + P} \right)}^{ - 1}}\left( {P + \frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right)\varphi } \end{array}} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {t{{\left( { - \Delta + P} \right)}^{ - 1}}\frac{{\alpha {\theta _a}\left( {a - 2{\theta _a}} \right)\left( {{k_1} + {\theta _a}} \right) + c{\theta _a}}}{{\left( {1 + \beta {\theta _a}} \right)\left( {{k_1} + {\theta _a}} \right)}}\varphi }\\ 0 \end{array}} \right). \end{array} $

故(I-tL)(0, φ)^T∈S_{(θa, 0)}, 因此L在W_{(θa, 0)}上具有α性质.由引理3知, index_W(A, (θ_a, 0))=0.

由前面的证明知I-L在W_{(θa, 0)}上可逆.现在证明L在W_{(θa, 0)}上不具有α性质.因为${\lambda _1}\left( {-\frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right) > 0$, 由引理2, 3知, 如果L在W_{(θa, 0)}上具有α性质, 则存在0 < t < 1和(φ₁, φ₂)∈W_{(θa, 0)}\S_{(θa, 0)}, 使得(I-tL)(φ₁, φ₂)^T∈S_{(θa, 0)}, 于是${\varphi ^2}-t{\left( {-\Delta + P} \right)^{-1}}\left( {P + \frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right){\varphi _2} = 0$.又因为φ₂∈{K\0}.所以t^-1是算子T的一个特征值, 此与r(T) < 1, 矛盾.因此L在W_{(θa, 0)}上不具有α性质.根据引理3, index_W(A, (θ_a, 0))=(-1)^σ.其中σ是L的所有大于1的特征值的代数重数之和.

假设1/μ是L的一个特征值, 对应的特征函数记为(ξ, η), 有

$ \left\{ \begin{array}{l} - \Delta \xi + P\xi = \mu \left( {\left( {P + a - 2{\theta _a}} \right)\xi - \frac{{\alpha {\theta _a}\left( {a - 2{\theta _a}} \right)\left( {{k_1} + {\theta _a}} \right) + c{\theta _a}}}{{\left( {1 + \beta {\theta _a}} \right)\left( {{k_1} + {\theta _a}} \right)}}\eta } \right),\;\;\;\;\;\;\;x \in \mathit{\Omega ,}\\ - \Delta \eta + P\eta = \mu \left( {P + \frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right)\eta ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \mathit{\Omega ,}\\ \xi = \eta = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \partial \mathit{\Omega }\mathit{.} \end{array} \right. $

(9)

如果η$\not{\equiv }$0, 则由式(9) 第2个方程知

$ 0 = {\lambda _j}\left( {P\left( {1 - \mu } \right) + \mu \left( { - \frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right)} \right) \ge {\lambda _1}\left( {P\left( {1 - \mu } \right) + \mu \left( { - \frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right)} \right) > {\lambda _1}\left( { - \frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right). $

对于j≥1, 此与${\lambda _1}\left( {-\frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right) > 0$, 矛盾.故η≡0.将η=0代入式(9) 的第1个方程.如果ξ∈0, 则有0=λ_j(P(1-μ)-μ(a-2θ_a))≥λ₁(P(1-μ)-μ(a-2θ_a))>λ₁(-μ(a-θ_a))>λ₁(-(a-θ_a))=0.对于j≥1, 矛盾.因此L没有大于1的特征值, 于是index_W(A, (θ_a, 0))=(-1)⁰=1.

类似可以证明引理4成立.

引理5  假设b>λ₁, 则有

(ⅰ)若${\lambda _1}\left( {\frac{{c{k_2}{\theta _b}-ad{k_1}}}{{d{k_1} + d{k_1}{k_2}{\theta _b}}}} \right) < 0$, 则index_W$\left( {A, \left( {0, \frac{{{k_2}}}{d}{\theta _b}} \right)} \right) = 0$;

(ⅱ)若${\lambda _1}\left( {\frac{{c{k_2}{\theta _b}-ad{k_1}}}{{d{k_1} + d{k_1}{k_2}{\theta _b}}}} \right) > 0$, 则index_W$\left( {A, \left( {0, \frac{{{k_2}}}{d}{\theta _b}} \right)} \right) = 1$.

引理6  index_W(A, D′)=1.

证明  ∀t∈[0, 1], 定义

$ {A_t}\left( {U,V} \right) = {\left( { - \Delta + P} \right)^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {tF\left( {u,v} \right) + PU}\\ {tG\left( {u,v} \right) + PV} \end{array}} \right), $

那么A_t(U, V):[0, 1]×D→W是正的紧算子, 且A=A₁.显然在∂D上A没有不动点.故index_W(A, D′)有意义.对任意的t, A_t的不动点是下述方程的解:

$ \left\{ \begin{array}{l} \Delta U = tu\left( {a - u - \frac{{cv}}{{{k_1} + u}}} \right),\;\;\;\;\;\;x \in \mathit{\Omega ,}\\ - \Delta V = tv\left( {b - \frac{{dv}}{{{k_2} + u}}} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \mathit{\Omega ,}\\ U = V = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \partial \mathit{\Omega }\mathit{.} \end{array} \right. $

(10)

由定理1知, ∀t∈[0, 1], A_t的不动点满足u≤M, v≤R, 因此A_t的不动点一定落在D内.由度的同伦不变性知index_W(A, D′)=index_W(A₁, D′)=index_W(A₀, D′).又因为当t=0时, 方程(10) 仅有平凡解(0, 0), 故index_W(A₀, D′)=index_W(A₀, (0, 0)).记

$ L = {{A'}_0}\left( {0,0} \right) = {\left( { - \Delta + P} \right)^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} P&0\\ 0&P \end{array}} \right), $

由引理2易知r(L) < 1, 因此I-L在W_{(0, 0)}上可逆且L在W_{(0, 0)}上不具有α性质.故index_W(A, D′)=1.

定理3  若a>λ₁, ${\lambda _1}\left( {-\frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right) < 0$且b>λ₁, ${\lambda _1}\left( {\frac{{c{k_2}{\theta _b}-ad{k_1}}}{{d{k_1} + d{k_1}{k_2}{\theta _b}}}} \right) < 0$, 则式(2) 除(0, 0), (θ_a, 0), $\left( {0, \frac{{{k_2}}}{d}{\theta _b}} \right)$外至少有一个正解.

证明  若式(2) 除了(0, 0), (θ_a, 0), $\left( {0, \frac{{{k_2}}}{d}{\theta _b}} \right)$外再没有正解.则由引理4, 5, 6和度的可加性知

$1 = {\rm{inde}}{{\rm{x}}_W}\left( {A,D'} \right) = {\rm{inde}}{{\rm{x}}_W}\left( {A,\left( {0,0} \right)} \right) + {\rm{inde}}{{\rm{x}}_W}\left( {A,\left( {0,\frac{{{k_2}}}{d}{\theta _b}} \right)} \right) = 0,$

矛盾.因此, 若a>λ₁, ${\lambda _1}\left( {-\frac{b}{{1 + \beta {\theta _a}}}} \right) < 0$且b>λ₁, λ₁$\left( {\frac{{c{k_2}{\theta _b}-ad{k_1}}}{{d{k_1} + d{k_1}{k_2}{\theta _b}}}} \right)$ < 0, 则式(2) 除(0, 0), (θ_a, 0), $\left( {0, \frac{{{k_2}}}{d}{\theta _b}} \right)$外至少有一个正解.