0 引言

1878年, Perroncito首次报道了在意大利鸡群中发生的家禽疫(fowl plague, 禽瘟), 直到1902年其病原才被分离出, 这也是第一株被证实的流感病毒.禽流感病毒在人与人之间的传播极为少见.2003年荷兰H7N7禽流感暴发期间, 3例未接触过病禽的家庭成员的发病提示存在人与人之间的传播.由于禽流感不仅对禽类群体产生严重的影响, 在人类群体中更可能造成大规模流行, 严重威胁人类的生命安全.如果可以通过媒体让人们认识到感染疾病的症状, 以及对个人及家庭带来的影响, 让人们从心理上重视, 了解一些预防措施, 从而减少患病人数, 所以研究有媒体影响的禽流感是很有必要的.

已有大量文献运用数学模型来研究传染病传播规律与控制途径^[1-8].文献[1]引入函数e^-mI来研究媒体影响因子, 建立了SEI模型, 并讨论了模型的动力学性态, 得出模型有多个正平衡点存在和Hopf分支出现的充分条件.文献[2]结合禽类传播模型和人类疾病传播模型, 提出了一种禽类-人类的流感传染模型.文献[3]讨论了两类禽流感模型, 一类是被带有禽流感病毒的禽感染的模型, 另一类是被感染禽流感病毒的人群感染的数学模型.文献[4]讨论了媒体报道对禽流感传播的影响.文献[9]考虑了非光滑媒体因子函数, 得到了模型的全局性态.文献[10-13]考虑媒体报道对一般疾病传播的影响.文献[14-17]考虑了饱和治疗率和非线性发生率对疾病传播的影响.本文在此基础上，结合禽流感传播的特性，假设人类易感者能被禽流感感染者感染，考虑带有媒体影响因子的人与人之间相互传染的SI-SIR型禽流感模型.

1 模型的建立

本文将禽类种群分成禽类易感者和禽类感染者, 分别用S_a(t), I_a(t)表示其数量, N_a(t)表示禽类总数, 则有N_a(t)=S_a(t)+I_a(t).再将人类分成易感者, 感染者和恢复者, 分别用S_h(t), I_h(t), R_h(t)表示其数量, N_h(t)表示人类总数, 则有N_h(t)=S_h(t)+I_h(t)+R_h(t).假设禽类与人类新出生和新迁入的种群均为易感者, 分别设为Π_a, Π_h.建立媒体报道对人与人之间相互传染的SI-SIR禽流感的影响模型, 即

$ \left\{ \begin{array}{l} {{S'}_a}\left( t \right) = \mathit{\Pi }_a { - {\beta _a}{I_a}{S_a} - {\mu _a}{S_a}} ,\\ {{I'}_a}\left( t \right) = {\beta _a}{I_a}{S_a} - \left( {{\mu _a} + {\delta _a}} \right){I_a},\\ {{S'}_h}\left( t \right) = \mathit{\Pi }_h { - \frac{{{\beta _h}{I_a}{S_a}}}{{1 + \sigma {I_h}}} - \frac{{{\alpha _h}{I_h}{S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} - {\mu _h}{S_h}} ,\\ {{I'}_h}\left( t \right) = \frac{{{\beta _h}{I_a}{S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} + \frac{{{\alpha _h}{I_h}{S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} - \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\mu _h}} \right){I_h},\\ {{R'}_h}\left( t \right) = {\gamma _h}{I_h} - {\mu _h}{R_h}. \end{array} \right. $

(1)

其中β_a表示禽类易感者与禽类感染者之间的传染率, μ_a表示禽类的自然死亡率, δ_a表示禽类的因病死亡率, β_h表示人类易感者与禽类感染者之间的传染率, α_h表示人类易感者与人类感染者之间的传染率, μ_h表示人类的自然死亡率, δ_h表示人类的因病死亡率, γ_h表示人类的恢复率, σ表示媒体影响因子.假定所有参数都是正常数.

容易得出系统(1) 有一个正向不变集

$ D = \left\{ {\left( {{S_a},{I_a},{S_h},{I_h},{R_h}} \right) \in {\bf{R}}_ + ^5:{N_a} \le \frac{{{\mathit{\Pi }_a}}}{{{\mu _a}}},{N_h} \le \frac{{{\mathit{\Pi }_h}}}{{{\mu _h}}}} \right\}, $

并且D对系统(1) 的所有R₊⁵内的解都是吸引的.下面将在正向不变集中研究模型的动力学性态.

2 平衡点的存在性与稳定性

先考虑如下的子系统

$ \left\{ \begin{array}{l} {{S'}_a}\left( t \right) = {\mathit{\Pi }_a} - {\beta _a}{I_a}{S_a} - {\mu _a}{S_a},\\ {{I'}_a}\left( t \right) = {\beta _a}{I_a}{S_a} - \left( {{\mu _a} + {\delta _a}} \right){I_a}. \end{array} \right. $

(2)

该系统有不变集${D_a} = \left\{ {\left( {{S_a}, {I_a}} \right) \in {\bf{R}}_ + ^2:{S_a} + {I_a} \le \frac{{{\mathit{\Pi }_a}}}{{{\mu _a}}}} \right\}$, 且对系统的所有解都是吸引的.令${R_a} = \frac{{{\beta _a}{\mathit{\Pi }_a}}}{{{\mu _a}\left( {{\mu _a} + {\delta _a}} \right)}}$, 则有如下结果.

引理1^[8]  当R_a≤1, 系统(2) 仅存在无病平衡点${{e}_{0}}=\left( \frac{{{\mathit{\Pi }}_{a}}}{{{\mu }_{a}}},0 \right)$;当R_a>1时, 系统(2) 存在无病平衡点e₀和一个正平衡点e^*=(S_a^*, I_a^*).其中$S_a^* = \frac{{{\mu _a} + {\delta _a}}}{{{\beta _a}}}$, $I_a^* = \frac{{{\mathit{\Pi }_a}-{\mu _a}S_a^*}}{{{\beta _a}S_a^*}}$.

引理2^[8]  当R_a>1时, 系统(2) 的正平衡点e^*=(S_a^*, I_a^*)是全局渐近稳定的.

由于系统(1) 的前4个方程不含变量R_h, 因此可以先研究如下系统

$ \left\{ \begin{array}{l} {{S'}_a}\left( t \right) = \mathit{\Pi }_a { - {\beta _a}{I_a}{S_a} - {\mu _a}{S_a}} ,\\ {{I'}_a}\left( t \right) = {\beta _a}{I_a}{S_a} - \left( {{\mu _a} + {\delta _a}} \right){I_a},\\ {{S'}_h}\left( t \right) = \mathit{\Pi }_h { - \frac{{{\beta _h}{I_a}{S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} - \frac{{{\alpha _h}{I_h}{S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} - {\mu _h}{S_h}} ,\\ {{I'}_h}\left( t \right) = \frac{{{\beta _h}{I_a}{S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} + \frac{{{\alpha _h}{I_h}{S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} - \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\mu _h}} \right){I_h}. \end{array} \right. $

(3)

而R_h的性态可以由R_h^′(t)=γ_hI_h-μ_hR_h得到.系统(3) 有正向不变集D₁={(S_a, I_a, S_h, I_h)∈R₊⁴:${S_a} + {I_a} \le \frac{{{\mathit{\Pi }_a}}}{{{\mu _a}}}$, ${S_h} + {I_h} \le \frac{{{\mathit{\Pi }_h}}}{{{\mu _h}}}$}.故可以在区域D₁内考虑系统(3) 的动力学性质.令系统(3) 方程的右端为零, 可以求得系统的平衡点.令${R_0} = \frac{{{\mathit{\Pi }_h}{\alpha _h}}}{{{\mu _h}\left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right)}}$.

定理1  系统(3) 总有无病平衡点$E_0^* = \left( {\frac{{{\mathit{\Pi }_a}}}{{{\mu _a}}}, 0, \frac{{{\mathit{\Pi }_h}}}{{{\mu _h}}}, 0} \right)$, 当R₀>1时, 系统还存在一个边界平衡点E₁^*=(S_a1^*, 0, S_h1^*, I_h1^*), 其中$S_{{a_1}}^* = \frac{{{\mathit{\Pi }_a}}}{{{\mu _a}}}$, $S_{{h_1}}^* = \frac{{\left( {1 + \sigma I_{{h_1}}^*} \right)\left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right)}}{{{\alpha _h}}}$, $I_{{h_1}}^* = \frac{{{\mathit{\Pi }_h}-{\mu _h}S_{{h_1}}^*}}{{{\alpha _h}S_{{h_1}}^*}}$, 这个平衡点表明在禽类种群中不再有感染者, 但人类种群中还存在感染者.

而当R_a>1时, 易知系统(3) 存在唯一的正平衡点E₂^*=(S_a2^*, I_a2^*, S_h2^*, I_h2^*), 其中

$ S_{{a_2}}^ * = \frac{{{\mu _a} + {\delta _a}}}{{{\beta _a}}},I_{{a_2}}^ * = \frac{{{\mathit{\Pi }_a} - {\mu _a}S_{{a_2}}^ * }}{{{\beta _a}S_{{a_2}}^ * }},S_{{h_2}}^ * = \frac{{{\mathit{\Pi }_h}}}{{\frac{{{\beta _h}I_{{a_2}}^ * }}{{1 + \sigma I_{{h_2}}^ * }} + \frac{{{\alpha _h}I_{{h_2}}^ * }}{{1 + \sigma I_{{h_2}}^ * }} + {\mu _h}}}. $

证明  系统(3) 的平衡点E^*=(S_a^*, I_a^*, S_h^*, I_h^*)满足方程

$ \left\{ \begin{array}{l} 0 = {\mathit{\Pi }_a} - {\beta _a}I_a^ * S_a^ * - {\mu _a}S_a^ * ,\\ 0 = {\beta _a}I_a^ * S_a^ * - \left( {{\mu _a} + {\delta _a}} \right)I_a^ * ,\\ 0 = {\mathit{\Pi }_h} - \frac{{{\beta _h}I_a^ * S_h^ * }}{{1 + \sigma I_h^ * }} - \frac{{{\beta _h}I_h^ * S_h^ * }}{{1 + \sigma I_h^ * }} - {\mu _h}S_h^ * ,\\ 0 = \frac{{{\beta _h}I_a^ * S_h^ * }}{{1 + \sigma I_h^ * }} + \frac{{{\alpha _h}I_h^ * S_h^ * }}{{1 + \sigma I_h^ * }} - \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right)I_h^ * . \end{array} \right. $

(4)

由式(4) 计算可知系统(3) 总有无病平衡点$E_0^* = \left( {\frac{{{\mathit{\Pi }_a}}}{{{\mu _a}}}, 0, \frac{{{\mathit{\Pi }_h}}}{{{\mu _h}}}, 0} \right)$.

而当R_a>1时, 由式(4) 的前两式知禽类系统有正平衡点

$ S_{{a_2}}^ * = \frac{{{\mu _a} + {\delta _a}}}{{{\beta _a}}},\;\;\;\;I_{{a_2}}^ * = \frac{{{\mathit{\Pi }_a} - {\mu _a}S_{{a_2}}^ * }}{{{\beta _a}S_{{a_2}}^ * }}. $

代入式(4) 后两式得到S_h^*, I_h^*满足方程组

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\Pi }_h} - \frac{{{\beta _h}I_{{a_2}}^ * S_h^ * }}{{1 + \sigma I_h^ * }} - \frac{{{\beta _h}I_h^ * S_h^ * }}{{1 + \sigma I_h^ * }} - {\mu _h}S_h^ * = 0,\\ \frac{{{\beta _h}I_{{a_2}}^ * S_h^ * }}{{1 + \sigma I_h^ * }} + \frac{{{\beta _h}I_h^ * S_h^ * }}{{1 + \sigma I_h^ * }} - \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right)I_h^ * = 0. \end{array} \right. $

(5)

由方程(5) 第1式得

$ S_h^ * = \frac{{{\mathit{\Pi }_h}}}{{\frac{{{\beta _h}I_{{a_2}}^ * }}{{1 + \sigma I_{{h_2}}^ * }} + \frac{{{\beta _h}I_{{h_2}}^ * }}{{1 + \sigma I_h^ * }} + {\mu _h}}}. $

将其带入第2式整理得

$ {a_1}{\left( {I_h^ * } \right)^2} + {a_2}I_h^ * + {a_3} = 0. $

其中a₁=(α_h+σμ_h)(μ_h+δ_h+γ_h), a₂=β_hI_a2^* (μ_h+δ_h+γ_h)+μ_h-α_hΠ_h, a₃=β_hI_a2^*-β_hΠ_hI_a2^*=β_hI_a2^*(1-Π_h).由于a₁>0, a₃ < 0, 则方程(5) 有且仅有一个整根, 故此时系统(3) 存在唯一的正平衡点E₂^*=(S_a2^*, I_a2^*, S_h2^*, I_h2^*), 得证.

定理2  当R_a < 1且R₀ < 1时, 系统(3) 的无病平衡点E₀^*在区域D₁内是全局渐近稳定的; 当R_a>1或R₀>1时, E₀^*是不稳定的.

证明  先证E₀^*的局部稳定性.系统(3) 在无病平衡点E₀^*处的Jacobi矩阵为

$ \mathit{\boldsymbol{J}}\left( {E_0^ * } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\mu _a}}&{ - \frac{{{\beta _a}{\mathit{\Pi }_a}}}{{{\mu _a}}}}&0&0\\ 0&{\frac{{{\beta _a}{\mathit{\Pi }_a}}}{{{\mu _a}}} - \left( {{\mu _a} + {\delta _a}} \right)}&0&0\\ 0&{ - \frac{{{\beta _h}{\mathit{\Pi }_h}}}{{{\mu _h}}}}&{ - {\mu _h}}&{ - \frac{{{a_h}{\mathit{\Pi }_h}}}{{{\mu _h}}}}\\ 0&{\frac{{{\beta _h}{\mathit{\Pi }_h}}}{{{\mu _h}}}}&0&{\frac{{{\alpha _h}{\mathit{\Pi }_h}}}{{{\mu _h}}} - \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right)} \end{array}} \right), $

其特征根为

$ {\lambda _1} = - {\mu _a},{\lambda _2} = \frac{{{\beta _a}{\mathit{\Pi }_a}}}{{{\mu _a}}} - {\mu _a} - {\delta _a},{\lambda _3} = - {\mu _h},{\lambda _4} = \frac{{{\alpha _h}{\mathit{\Pi }_h}}}{{{\mu _h}}} - \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right). $

当R_a < 1且R₀ < 1时, 特征根均为负, 所以E₀^*是局部渐近稳定的; 当R_a>1或R₀>1时, λ₂>0或λ₄ < 0至少有一个特征根为正, 故E₀^*是不稳定的.

再证明无病平衡点E₀^*的全局稳定性.当R_a < 1时, 即有${{S}_{a}}=\frac{{{\mathit{\Pi }}_{a}}}{{{\mu }_{a}}}$, I_a=0, 系统(3) 的极限系统为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{S'}_h}\left( t \right) = {\mathit{\Pi }_h} - \frac{{{\alpha _h}{I_h}{S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} - {\mu _h}{S_h},\\ {{I'}_h}\left( t \right) = \frac{{{\alpha _h}{I_h}{S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} - \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right){I_h}. \end{array} \right. $

(6)

显然, $\left( {\frac{{{\mathit{\Pi }_h}}}{{{\mu _h}}}, 0} \right)$为该系统的无病平衡点, 又${D_2} = \left\{ {\left( {{S_h}, {I_h}} \right) \in {\bf{R}}_ + ^2:{S_h} + {I_h} \le \frac{{{\mathit{\Pi }_h}}}{{{\mu _h}}}} \right\}$为其正向不变集.令L=I_h, 则当R₀ < 1时,

$ \begin{array}{l} L' = \frac{{{\alpha _h}{I_h}{S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} - \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right){I_h} \le \frac{{{\alpha _h}{I_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}}\frac{{{\mathit{\Pi }_h}}}{{{\mu _h}}} - \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right){I_h} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right){I_h}\left( {\frac{{{R_0}}}{{1 + \sigma {I_h}}} - 1} \right) \le 0. \end{array} $

当且仅当I_h=0时等号成立.又D₃={(S_h, I_h)∈D₂|I_h=0}是系统(6) 的最大正不变子集, 则由LaSalle不变原理知, 当R_a < 1, E₀^*是全局渐近稳定的.

定理3  当R_a < 1且R₀>1时, 系统(3) 的平衡点E₁^*=(S_a1^*, 0, S_h1^*, I_h1^*)在区域D₁内是全局渐近稳定的; 当R_a>1且R₀>1时, E₁^*=(S_a1^*, 0, S_h1^*, I_h1^*)是不稳定的.

证明  先证E₁^*的局部稳定性.系统(3) 在平衡点E₁^*处的的Jacobi矩阵为

$ \mathit{\boldsymbol{J}}\left( {E_1^ * } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\mu _a}}&{ - \frac{{{\beta _a}{\mathit{\Pi }_a}}}{{{\mu _a}}}}&0&0\\ 0&{\frac{{{\beta _a}{\mathit{\Pi }_a}}}{{{\mu _a}}} - \left( {{\mu _a} + {\delta _a}} \right)}&0&0\\ 0&{ - \frac{{{\beta _h}S_{h1}^ * }}{{1 + \sigma I_{h1}^ * }}}&{ - \frac{{{\alpha _h}I_{h1}^ * }}{{1 + \sigma I_{h1}^ * }} - {\mu _h}}&{ - \frac{{{a_h}S_{h1}^ * }}{{1 + \sigma I_{h1}^ * }}}\\ 0&{\frac{{{\beta _h}S_{h1}^ * }}{{1 + \sigma I_{h1}^ * }}}&{\frac{{{\beta _h}I_{h1}^ * }}{{1 + \sigma I_{h1}^ * }}}&{\frac{{{\alpha _h}I_{h1}^ * \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right)}}{{1 + \sigma I_{h1}^ * }}} \end{array}} \right). $

其特征根λ₁=-μ_a, ${\lambda _2} = \frac{{{\beta _a}{\mathit{\Pi }_a}}}{{{\mu _a}}}-{\mu _a}-{\delta _a}$, λ₃, λ₄满足方程λ²+pλ+q=0.其中

$ \begin{array}{*{20}{c}} {p = \frac{{\left[ {\sigma \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right) + {\alpha _h}} \right]}}{{1 + \sigma I_{h1}^ * }} + {\mu _h} > 0,}\\ {q = \frac{{\sigma {\alpha _h}\left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right){{\left( {I_{h1}^ * } \right)}^2} + {{\left( {{\alpha _h}} \right)}^2}I_{h1}^ * S_{h1}^ * }}{{{{\left( {1 + \sigma I_{h1}^ * } \right)}^2}}} + \frac{{\sigma {\mu _h}I_{h1}^ * \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right)}}{{1 + \sigma I_{h1}^ * }} > 0.} \end{array} $

则λ₃, λ₄的实部必为负, 而当R_a < 1且R₀>1时, λ₁ < 0, λ₂ < 0, 所以E₁^*是局部渐近稳定的; 当R_a>1, R₀>1时, 有λ₂>0, 故E₁^*是不稳定的.

下证当R_a < 1且R₀>1时, 平衡点E₁^*是全局渐近稳定的.选取Lyapunov函数V=I_a, 则V′=β_aI_aS_a-(μ_a+δ_a)I_a≤(R_a-1)I_a < 0, 由LaSalle不变原理^[18]可知, 当R_a < 1且R₀>1时, E₁^*是全局渐近稳定的.

定理4  当R_a>1时, 系统(3) 的平衡点E₂^*全局渐近稳定的.

证明  系统(1) 的子系统

$ \left\{ \begin{array}{l} {{S'}_a}\left( t \right) = {\mathit{\Pi }_a} - {\beta _a}{I_a}{S_a} - {\mu _a}{S_a},\\ {{I'}_a}\left( t \right) = {\beta _a}{I_a}{S_a}\left( {{\mu _a} + {\delta _a}} \right){I_a}, \end{array} \right. $

由引理1知R_a>1时, 该子系统的正平衡点e^*=(S_a^*, I_a^*)是全局渐近稳定的, 即

$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {S_a}\left( t \right) = \frac{{{\mu _a} + {\delta _a}}}{{{\beta _a}}} = S_a^ * ,\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {I_a}\left( t \right) = \frac{{{\mathit{\Pi }_a} - {\mu _a}S_a^ * }}{{{\beta _a}S_a^ * }} = \frac{{{\mu _a}}}{{{\beta _a}}}\left( {{R_a} - 1} \right) = I_a^ * . $

故可得系统(1) 的极限子系统

$ \left\{ \begin{array}{l} {{S'}_h}\left( t \right) = {\mathit{\Pi }_h} - \frac{{{\beta _h}I_{{a_2}}^ * {S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} - \frac{{{\alpha _h}{I_h}{S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} - {\mu _h}{S_h} \buildrel \Delta \over = H\left( {{S_h},{I_h}} \right)\\ {{I'}_h}\left( t \right) = \frac{{{\beta _h}I_{{a_2}}^ * {S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} + \frac{{{\alpha _h}{I_h}{S_h}}}{{1 + \sigma {I_h}}} - \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right){I_h} \buildrel \Delta \over = G\left( {{S_h},{I_h}} \right). \end{array} \right. $

(7)

选取Dulac函数为$B = \frac{{1 + \sigma {I_h}}}{{{I_h}}}$, 则有

$ \frac{{\partial \left( {BH} \right)}}{{\partial {S_h}}} + \frac{{\partial \left( {BG} \right)}}{{\partial {I_h}}} = - \frac{{{\beta _h}I_{{a_2}}^ * }}{{{I_h}}} - {a_h} - {\mu _h}\frac{{1 + \sigma {I_h}}}{{{I_h}}} - \frac{{{\beta _h}I_{{a_2}}^ * {S_h}}}{{{{\left( {{I_h}} \right)}^2}}} - \sigma \left( {{\mu _h} + {\delta _h} + {\gamma _h}} \right) < 0. $

故系统(5) 在其最大不变集上无环, 系统(5) 的平衡点E₂^*只要存在就全局渐近稳定.再由极限系统理论^[8]可知, 系统(3) 的平衡点E₂^*全局渐近稳定.

3 结束语

讨论了有媒体影响因子的人与人之间相互传染的SI-SIR型禽流感模型.分析得到两个阈值, 禽类阈值R_a和人类阈值R₀.当R_a < 1且R₀ < 1, 无病平衡点是全局渐近稳定的, 表示禽流感在人群与禽类种群中都不会流行而且最终将消失; 当R_a < 1且R₀>1时, 系统还存在平衡点E₁^*, 且该平衡点是全局渐近稳定的, 而无病平衡点是不稳定的, 即表示无论是禽类患者还是人类患者, 如果患者在其患病周期内传染的人数大于1, 则虽然禽流感最终将在禽类种群中消失, 但却会在人类种群中流行; 当R_a>1时, 平衡点E₂^*是全局渐近稳定的, 说明疾病将会在人类种群与禽类种群中流行且最终稳定在平衡点E₂^*.所以, 要避免疾病在人类种群中流行, 除了降低R_a外, 还必须降低R₀, 即要降低禽类易感者与禽类感染者之间的接触率, 以及人类易感者与人类感染者之间的接触率, 即降低β_a, α_h的值, 也可通过宰杀禽类感染者.此外, 还可以通过提高医疗水平, 从而提高治愈率, 另外健康的生活方式, 良好的生活习惯, 及时的信息获取, 必要的预防接种均可有效降低感染率.