捕食-食饵模型是种群动力学的重要研究内容,吸引了国内外众多学者的关注.最早由Volterra在1926年提出了Lotka-Volterra模型^[1],但此模型假设功能反应与食饵数量成正比,这与实际情况不完全相符.随后Holling在实验的基础上对不同物种提出了3种不同的功能反应函数.在食饵与捕食者的相互作用中,很多食饵是具有防卫能力的,特别是随着食饵数量的增加,食饵的防御、匿藏能力也会提高,对捕食者会起到抑制作用.基于此,Andrews提出了Holling Ⅳ型^[2]功能反应函数P(x)=mx/a+bx+x².在现实生产生活中,考虑到经济利益,往往会对食饵进行收获以出售,因此对捕食-食饵模型考虑进收获项是很有必要的,而Michaelis-Menten收获项从生态和经济的角度都更加符合实际^{[3, 4, 5]}.

目前已有许多学者对带收获项的捕食-食饵模型进行了研究,并取得大量成果.其中,文献^[6]研究了带常数收获项的Holling-Ⅳ型捕食-食饵模型,证明了模型的多种分歧情况;文献^[7]中提出了带有Michaelis-Menten收获项的改进的HollingⅡ型捕食-食饵模型,并研究了解的稳定性和分歧;文献^[8]通过对文献^[7]中的模型添加扩散项和扩散系数,研究了解的渐近稳定性,周期解的性态和非常数正解的存在性等. 结合文献^{[6, 7, 8]},本文考虑如下一类在齐次Neumann边界条件下带Michaelis-Menten收获项的改进的Holling-Ⅳ型捕食-食饵模型

其中u,v分别代表食饵和捕食者的种群密度,Δ为Lapalce算子,$\partial $_v表示单位外法向量的方向导数,Ω为R^N(N≥1)中具有光滑边界的有界开区域,d₁>0和d₂>0分别是食饵和捕食者的扩散系数,α,β,γ,ρ,h,m,c均为正常数.

本文主要借助L-S度理论等,研究系统(1)的共存解,因此考虑对应的平衡态方程

令0=λ₀＜λ₁＜λ₂＜…→∞是-Δ算子在Ω上关于齐次Neumann边界条件下的特征值,$\left\{ {{\phi _{ij}}} \right\}\mathop {\dim \left\langle {({\lambda _i})} \right\rangle }\limits_{j = 1} $是E(λ_i)=｛ψ|-Δφ=λ_iφ,x∈Ω,$\partial $_vφ=0,x∈$\partial $Ω｝的一组标准正交基.设X=｛(u,v)∈[C¹(Ω)]²|$\partial $_vu=$\partial $_vv=0,x∈$\partial $Ω｝,X_ij=｛cφ_ij|c∈R²｝,则

对于系统(2)非负常数解的情况有如下定理.

定理1 对于系统(2),令s=1-c-α/β,Δ₀=(α/β-c-1)²-4h,则有

(1) (0,0)为其平凡解,(0,m/β)为其一个非负半平凡解.

(2) 当h>c,c＜1且(1+c)²>4h时,有两个半平凡解

当h＜c时,仅有U_B=(u_B,0)存在.

(3) 当1-h/c＜α/β＜1+c-2$\sqrt h $＜1-c时,有两个正常数解

当α/β<1-h/c时,仅有U₂=(u₂,v₂)存在.

(4) 当1-h/c<α/β=1+c-2$\sqrt h $<1-c时,只有一个正常数解$\bar U = \left( {\bar u,\bar \upsilon } \right) = \left( {\frac{s}{2},\frac{{m + \bar u + {{\bar u}^2}}}{\beta }} \right)$.

(5) 当α/β>1+c-2$\sqrt h $时,无正常数解.

由最大值原理^[9]可以得到如下定理.

定理2 假设(u,v)是系统(2)的任意非负解,且u0,v0,则$u \le 1,\frac{m}{\beta } \le \upsilon \le \frac{{m + r + 1}}{\beta }.$

证明 令

对于系统(1),由最大值原理可得

因此有u(x₁)≤1,v(y₂)≥m/β.

同理,令v(x₂)=maxΩ v,则有

所以$\upsilon ({x_2}{\rm{)}} \le \frac{{m + r + 1}}{\beta }.$

由Harnack不等式^[10]可得如下定理.记Λ表示参数α,β,γ,c,h,m,ρ的集合,下文所涉及的常数C,C^*,C都与区域Ω和参数Λ有关.

定理3 设α/β≠1-h/c,d是固定的正常数,则存在一个正常数C=C(Λ,d),使得对所有的d₁,d₂≥d,系统(2)的任意正解(u,v)满足u(x)≥C,v(x)≥m/β.

证明 令${c_1}(x) = \frac{1}{{{d_1}}}\left( {1 - u - \frac{{\alpha \upsilon }}{{m + u + {u^2}}} - \frac{h}{{c + u}}} \right),{c_2}(x) = \frac{1}{{{d_2}}}\left( {\rho - \frac{{\beta \alpha \upsilon }}{{m + u + {u^2}}}} \right).$

结合定理2可知,存在一个正常数C=C(N,Ω,Λ,d),使得当d₁,d₂≥d时,有‖c₁(x)‖_∞,‖c₂(x)‖_∞≤C.因此,若u满足

则由Harnac不等式可知,存在一个正常数C^*=C^*(N,Ω,Λ,d),使得当d₁,d₂≥d时,有

假设u(x)≥C不成立,则由式(3)可知,存在一个序列｛(d_1j,d_2j)｝^∞_j=1，满足d_1j≥d,d_2j≥d,且当d_i=d_ij,i=1,2时,系统(2)对应的正解(u_j,v_j)满足当j→∞时,$\mathop {\min }\limits_{\bar \Omega } {u_j} \to 0$.

令${\omega _j} = \frac{{{u_j}}}{{||{u_j}|{|_{{L^ \propto }}}}}$,显然(w_j,u_j,v_j)满足

根据Sobolev嵌入定理和椭圆方程的正则性估计^[11]可知,存在｛u_j,v_j｝_j=1^∞的一个收敛子序列,为便于研究,仍记为｛u_j,v_j｝_j=1^∞,则当j→∞时,存在两个非负的函数$\tilde u,\tilde \upsilon \in {C^2}(\Omega )$和d₀,使得

容易得到$\left( {\tilde u,\tilde \upsilon } \right)$也满足定理2中的估计,且$\mathop {\min }\limits_{\bar \Omega } \tilde u = 0$,故由Harnac不等式可得$\tilde u \equiv 0$.又‖w‖_L^∞=1,$\tilde \upsilon = m/\beta $,所以结合式(4)的第一式,当j→∞时,有α/β=1-h/c,这与假设条件矛盾,因此u(x)≥C.

定理4 存在一个正常数D₁,使得当d₁,d₂≥D₁时,系统(1)没有非常数正平衡解.

证明 假设系统(1)存在非常数正平衡解(u,v),令$\bar u = \frac{1}{{|\Omega |}}\int {_\Omega u} {\rm{d}}x,\tilde \upsilon = \frac{1}{{|\Omega |}}\int {_\Omega u} {\rm{d}}x$,则有

对系统(2)的第一个方程乘以$\left( {u - \bar u} \right)$,第二个方程乘以$\left( {\upsilon - \bar \upsilon } \right)$,并分别在Ω上积分后再相加可得

令${P_1}(u) = \left( {1 - u - \frac{h}{{c + u}}} \right),{P_2}(u) = \frac{{\alpha u}}{{m + ru + {u^2}}},{P_3}(u) = \frac{{\beta \rho \upsilon }}{{m + ru + {u^2}}},$则

其中min｛C,m/β｝≤ξ,η,u′,v′≤max｛1,(m+γ+1)/β｝,M₁=|P_1u(ξ)|,M₂=|P_2u(η)|,M₃=|P_3u(u′,v′)|为固定正常数,ζ为足够小的正常数,u″=$\sqrt{h}$-c为P₁(u)的最大值点.所以由Poincare不等式并结合式(5)可得

令

所以存在正常数D₁>0,使得当d₁,d₂≥D₁时,有$u\equiv \bar{u},\upsilon \equiv \bar{\upsilon }$,矛盾,故定理4得证.

本节固定其他参数,以d₁,d₂为参数讨论系统(1)的非常数正平衡解的全局存在性.

首先,记U=(u,v),U_r=(u_r,v_r)，且r=1,2.令

经计算可得

则系统(2)可以写成

并且U是系统(2)的解当且仅当U满足

G(d₁,d₂;U)=U-(I-Δ)^-1(D^-1F(U)+U)=0,U∈X.

其中(I-Δ)^-1是I-Δ在齐次Neumann边界条件下的逆算子.通过计算得

易知,对于每个X_i,μ是d_UG(d₁,d₂;U_r)在X_i上的特征值,当且仅当μ(1+λ_i)是矩阵

M_r(d₁,d₂;λ_i)=d₁d₂detR_r(λ_i),r=1,2,

关于λ的一元二次方程(8)的判别式记为Δ_r,其中

Δ_r=(d₂f_r1+d₁g_r2)²-4d₁d₂(f_r1g_r2-f_r2g_r1)=
f_r1²d₂²+2(2f_r2g_r1-f_r1g_r2)d₁d₂+d₁²g_r2².

则必存在${{{\tilde{d}}}_{2}}$>0,使得当d₂>${{{\tilde{d}}}_{2}}$时,Δ_r大于0,此时M_r有两个根,记为

令

A_r=A_r(d₁,d₂)=｛λ|λ≥0,λ⁺_r(d₁,d₂)<λ<λ⁺_r(d₁,d₂)｝,S_p=｛λ₀,λ₁,λ₂,…｝.

引理 1^[15] 假设∀λ_i∈S_p,M_r(d₁,d₂;λ_i)≠0且r=1,2,则

index(G(d₁,d₂;·),U_r)=(-1)^σ,

其中

特别地,若∀λ_i≥0,有M_r(d₁,d₂;λ_i)>0,则σ=0.

定理 5 设1-h/c<α/β<1+c-2$\sqrt{h}$<1-c成立,且f₂₁<0.如果d₁固定,使得∀q≥1都有$\frac{{{f}_{11}}}{{{d}_{1}}}\in ({{\lambda }_{q}},{{\lambda }_{q}}+1),{{\sigma }_{q}}=\sum\limits_{i=1}^{q}{dimE({{\lambda }_{i}})}$为奇数,则存在一个正常数d₂^*,使得当d₂≥d₂^*时,系统(1)至少存在一个非常数正平衡解.

证明 因为f₁₁g₁₂-f₁₂g₁₁<0,所以λ₁⁺>0,λ₁^-<0.又$\underset{{{d}_{2}}\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\lambda }^{+}}_{1}=\frac{{{f}_{11}}}{{{d}_{1}}}>0$,从而存在${{{\hat{d}}}_{2}}$>0,使得当d₂≥${{{\hat{d}}}_{2}}$时,有λ_q<λ₁⁺<λ_q+1.故当i≤q时,M₁(d₁,d₂;λ_i)<0;当i≥q+1时,M₁(d₁,d₂;λ_i)>0.所以A₁(d₁,d₂)∩S_p=｛λ₀,λ₁,λ₂,…λ_q｝.

又因为f₂₁<0,g₂₂<0,f₂₁g₂₂-f₂₂g₂₁>0,可以得到λ₂⁺<0,λ₂^-<0,从而∀λ_i≥0,有M₂(d₁,d₂;λ)>0,故σ=0.

接下来令

利用反证法,假设当d₂≥d₂^*时,系统(1)不存在非常数正平衡解.

由定理4可知,在d₂≥d₂^*的条件下,存在正常数${{{\tilde{d}}}_{1}}$,使得当d₁≥${{{\tilde{d}}}_{1}}$时,系统(1)无非常数正平衡解.并取d^*₁适当的大,使得d^*₁≥${{{\tilde{d}}}_{1}}$,0<$\frac{{{f}_{11}}}{{{d}_{1}}*}$<λ₁.对于如此确定的(d^*₁,d₂^*),系统(1)无非常数正平衡解.

∀s∈[0,1],定义

其中由于d₁≥${{{\hat{d}}}_{1}}$,d₂≥d₂^*,d^*₁≥${{{\hat{d}}}_{1}}$,所以d₁(s)>${{{\hat{d}}}_{1}}$,d₂(s)≥d₂^*.

下面考虑如下问题

则U是方程(9)的非常数正解，当且仅当U是

的解.其中

由先验估计可知,存在正常数K₁,K₂,使得∀s∈[0,1],方程(9)的正解满足K₁<u(x),v(x)<K₂,x∈${\bar{\Omega }}$.令

因此,∀s∈[0,1],W(U,s)=0在U∈∂Σ上无解.根据度的同伦不变性^[12]可得

然而,由反证假设可知,当d₂≥d₂^*时,W(U,1)=0在区域Σ上只有正常数解U₁,U₂,且

结合定理4和上述d^*₁,d₂^*的取法可知,W(U,0)=0在区域Σ上只有正常数解U₁,U₂,且0<$\frac{{{f}_{11}}}{{{d}^{*}}_{1}}$<λ₁,从而A₁(d₁^*,d₂^*)∩S_p=｛λ₀｝,因此

结合式(12)～(15)可得

这与式(11)矛盾,故假设不成立,定理5得证.

记${\sigma _q} = \mathop \sum \limits_{i = 1}^q dimE({\lambda _i}),{\sigma _p} = \mathop \sum \limits_{i = 0}^q dimE({\lambda _i})$,类似地有如下定理.

定理 6 设$1 - \frac{h}{c} < \frac{\alpha }{\beta } < 1 + c - 2\sqrt h < 1 - c$成立,且f₂₁>0.如果存在d₁满足∀q≥1,p≥0,都有$\frac{{{f_{11}}}}{{{d_1}}} \in ({\lambda _q},{\lambda _q} + 1),\frac{{{f_{21}}}}{{{d_1}}} \in ({\lambda _p},{\lambda _{p + 1}}),$,σ_q+σ_p为奇数,则存在d₂^*>0,使得当d₂≥d₂^*时,系统(1)至少存在一个非常数正平衡解.

证明 因为f₂₁>0,g₂₂<0,f₂₁g₂₂-f₂₂g₂₁>0,可以得到λ₂⁺>0,λ₂^->0,且$\mathop {\lim }\limits_{{d_2} \to \infty } \lambda _2^ + = \frac{1}{2}\frac{{{f_{11}}}}{{{d_1}}} > 0,\mathop {\lim }\limits_{{d_2} \to \infty } \lambda _2^ - = 0$,从而存在${{{\hat d}_2}}$,使得0<λ₂^-<λ₁,λ_p<λ₂⁺<λ_p+1,从而存在足够大的₁,使得当d₁≥₁时,0<λ₂⁺<λ₁.则类似定理5的证明,可证得本定理.