0 引 言

超声变幅杆在功率超声振动系统中非常重要,其主要作用是放大质点机械振动的位移或速度,或将超声能量集中在较小的面积上.在超声变幅杆领域中，指数形变幅杆、圆锥形变幅杆、悬链线形变幅杆、阶梯形变幅杆等单一及各种复合振动变幅杆的特性得到众多学者的研究^{[1, 2, 3, 4, 5]}.单一变幅杆中,圆锥变幅杆的因数最大,但放大系数最小.文献^[6]研究了一种抛物线形变幅杆,与圆锥形变幅杆相比较,抛物线形变幅杆具有放大系数较大,形状因数可比的优点.传统变幅杆设计一般按照一维理论,当变幅杆横向尺寸小于1/4波长时,可以忽略横向振动对纵向频率造成的影响.但在许多需要大功率、高声强的功率超声应用领域中,通常需要一种横截面积大的变幅杆来获得较大的功率和声强.而此时,由于泊松效应的影响,横向的振动不可忽略,传统设计理论的结果将会出现较大的误差.文献^{[7, 8, 9, 10]}分别修正了大尺寸的指数形、悬链型和有孔圆锥变幅杆的频率,理论计算与模拟结果较符合.文献^[11]分析了大尺寸矩形截面抛物线型变幅杆,对固有频率进行修正,但是局限在矩形截面的块状振动体上,对于大截面的回转体变幅杆很难用解析法来分析,特别是对圆截面抛物线型变幅杆未见研究.本文利用瑞利能量法推导出圆截面大尺寸抛物线形变幅杆的频率修正结果,通过有限元软件Ansys进行模态分析.结果表明,利用瑞利能量法修正得到的频率,与一维理论值相比较,更接近于有限元模拟仿真值.

1 频率方程

对于均匀各向同性材料构成的变截面变幅杆,不考虑机械损耗,并设横截面上应力分布均匀^[1],则所求动力学方程为

$\frac{{{\partial }^{2}}\xi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{1}{S}\frac{\partial S}{\partial x}\frac{\partial \xi }{\partial x}+{{k}^{2}}\xi =0.$

(1)

其中,S=S(x)为变幅杆横截面积函数,ξ=ξ_(x)为质点的位移函数,δ=δ_(x)=E($\frac{\partial \xi }{\partial x}$)为应力函数,E是杨氏模量.则当处在简谐振动的情况时,式(1)是超声变幅杆一维纵振动时的波动方程.式中k=$\frac{\omega }{c}$指圆波数,ω指圆频率,c=${{\left( \frac{E}{\rho } \right)}^{\frac{1}{2}}}$指纵波在细杆中的传播速度,ρ为材料密度.当变幅杆截面为抛物线形函数时,其面积函数^[7]为S_(x)=S₁(1-ax)⁴,横截面的半径是R_(x)=R₁(1-ax)².其中S₁,S₂,R₁,R₂分别是大小端的横截面积和半径,且有a=$\frac{\left( l-\sqrt{\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}} \right)}{l}$(l为变幅杆长度).将截面积方程代入波动方程式(1)，可得

$\frac{{{\partial }^{2}}\xi }{\partial {{x}^{2}}}-\frac{4a}{l-ax}\frac{\partial \xi }{\partial x}+{{k}^{2}}\xi =0.$

(2)

将已知的a=l-R₂R₁l代入式(2),可求得式(2)的解为

${{\xi }_{x}}=A{{\left( \frac{k}{a}-kx \right)}^{-2}}\cos \left( \frac{k}{a}-kx+\phi \right)\exp \left( j\omega t \right).$

(3)

由式(3)可得其应变分布的函数为

$\frac{\partial {{\xi }_{x}}}{\partial x}=2kA{{\left( \frac{k}{a}-kx \right)}^{-3}}\cos \left( \frac{k}{a}-kx+\phi \right)\exp \left( j\omega t \right)+kA\left( \frac{k}{a}-kx \right)\sin \left( \frac{k}{a}-kx+\phi \right)\exp \left( j\omega t \right).$

(4)

由式(4)及边界条件$\frac{\partial {{\xi }_{x}}}{\partial x}\left| _{x=0} \right.=\frac{\partial {{\xi }_{x}}}{\partial x}\left| _{x=l} \right.$=0,可得当两端自由时其频率方程为

$\tan kl=\frac{ck{{a}^{2}}l}{4{{a}^{2}}+{{k}^{2}}-{{k}^{2}}al}.$

(5)

根据式(5)可计算变幅杆一维纵振动频率.

2 共振频率的瑞利修正

在大尺寸匀质超声变幅杆做纵向振动时,由于泊松效应的影响,必然存在横向振动,且横向振动较为强烈不可忽略,并对纵向振动有明显的影响,而且横向尺寸越大对纵向振动的影响越大.从振动能量角度进行分析,传统的一维设计理论只考虑了纵向振动下变幅杆的势能和动能,而在大尺寸变幅杆中,较强的横向振动会引起振动系统动能增加,从而增加系统的惯性,使变幅杆的等效分布参数发生变化,最终引起纵向振动的波速减慢,共振频率降低.采用瑞利能量法的近似理论假设,可认为形变前后在同一截面的质点仍旧处在同一平面上,即纵向位移ξ_x和半径r关;径向形变是均匀的,即径向位移与半径成正比,且两种振动是同相位的.因此可以得到,变幅杆在径向上的应变方程为

εr=-σ εx=-σ$\frac{\partial {{\xi }_{x}}}{\partial x}$.

(6)

其中σ是泊松系数,ε_r是径向应变,ε_x是纵向应变,且ξ_x是纵向位移.又由于其应变均匀,即径向的位移ξ_r=rε_r,则其径向位移的函数为

ξr=-rσ$\frac{\partial {{\xi }_{x}}}{\partial x}$

(7)

其径向振速的函数为

vr=$\frac{\partial {{\xi }_{r}}}{\partial t}$=-rσ$\frac{{{\partial }^{2}}{{\xi }_{x}}}{\partial x\partial t}$=-rσ$\frac{\partial {{v}_{x}}}{\partial x}$

(8)

式(8)中v_x是纵向速度,又v_x=$\frac{\partial {{\xi }_{r}}}{\partial t}$.

由于圆截面上变幅杆质点振动位移关于中心轴是对称的,因此轴对称上环带微元的质量可表示为

dm=ρdrds=2πρrdrdz.

(9)

由动能定理环带微元的纵向振动引起的能量为

ex=$\iint{{}}\frac{1}{2}$vx2dm=πρ$\int_{0}^{l}{{}}$vx2dx$\int_{0}^{{{R}_{x}}}{{}}$rdr.

(10)

由于横向振动的影响,该振动系统所引起的横向的能量为

er=$\iint{{}}\frac{1}{2}v_{x}^{2}dm=\pi \rho {{\sigma }^{2}}\int_{0}^{l}{{}}{{\left( \frac{\partial {{v}_{x}}}{\partial x} \right)}^{2}}dx\int_{0}^{{{R}_{x}}}{{}}{{r}^{3}}dr.$

(11)

设系统在一维纵振过程中的等效质量为m_e,由于横向振动的影响,动能增加后的等效质量的增量为Δm_e,则有

$\frac{\Delta {{m}_{e}}+{{m}_{e}}}{{{m}_{e}}}=\frac{{{e}_{r}}+{{m}_{e}}}{{{m}_{e}}}.$

(12)

由式(12)可得,当考虑变幅杆在横向振动时,该振动系统所对应的等效的质量就会增大.由于共振频率和系统对应的等效质量平方根的大小成反比,则得

$\frac{f_{n}^{'}}{{{f}_{n}}}=\sqrt{\frac{\Delta {{m}_{e}}+{{m}_{e}}}{{{m}_{e}}}}=\sqrt{\frac{{{e}_{x}}}{{{e}_{r}}+{{e}_{x}}}}.$

(13)

其中f_n为系统一维纵向振动时的共振频率,f^′_n为受横向振动影响后系统的共振频率.由此可以得出考虑横向振动的影响后,变幅杆的共振频率会减小.

对于抛物线形变幅杆由式(3)及(4)可知,在两端自由的条件下，纵向振速v_x及其对x的一阶偏导为

${{v}_{x}}=\frac{\partial {{\xi }_{x}}}{\partial t}=j\omega A{{\left( \frac{k}{a}-kx \right)}^{-2}}\cos \left( \frac{k}{a}-kx+\phi \right)\exp \left( j\omega t \right),$

(14)

$\frac{\partial {{v}_{x}}}{\partial x}=kj\omega A{{\left( \frac{k}{a}-kx \right)}^{-2}}\left[ \operatorname{sins}\left( \frac{k}{a}-kx+\phi \right)-{{\left( \frac{k}{a}-kx \right)}^{-1}}\cos \left( \frac{k}{a}-kx+\phi \right) \right]\exp \left( j\omega t \right).$

(15)

其中A是常数,且φ是初相位.

将式(14)，(15)及R_(x)=R₁(l-ax)²带入式(10)，(11),并令初相位φ=0，可得 12k²

ex=$\frac{1}{2{{k}^{2}}}$πρ(jωA)2R12∫0l[a(1-ax)cos($\frac{k}{a}$-kx)]2dx.

(16)

er=$\frac{1}{4{{k}^{2}}}\pi \rho {{\sigma }^{2}}\left( j\omega A \right)R_{1}^{4}\int_{0}^{l}{{}}{{\left[ a\left( 1-ax \right) \right]}^{4}}{{\left[ \sin \left( \frac{k}{a}-kx \right)-{{\left( \frac{k}{a}-kx \right)}^{-1}}\cos \left( \frac{k}{a}-kx \right) \right]}^{2}}dx.$

(17)

将式(16)，(17)代入式(13)可得修正后频率方程.若给定变幅杆的各项尺寸和材料参数,可由式(5)计算出纵振动频率,再由修正后的频率方程计算可得修正后的频率.

3 有限元模拟

随着计算机和数值计算方法的高速发展,应用有限元法来预测复杂振动系统的振动特性变得越来越重要.有限元法能够对超声振动系统进行精确建模,利用Ansys有限元分析软件可以简化从建模到提取参数的一系列过程,不仅可以分析系统的振动模式和共振频率,而且可以给出振动系统在任意位置及时刻的应力和应变状态以及位移分布^{[12, 13, 14, 15]}.为了验证本文中所得结论的精确性,取变幅杆材料为45号钢,其杨氏模量E=2.06×10¹¹,泊松系数σ=0.28,密度ρ=7.84×10³kg·m^-3.表 1为抛物线形变幅杆的理论值与Ansys有限元模拟值的比较.其中N为变幅杆大小端面积比,R₁,R₂分别为大小端半径,f₁为一维纵振动频率,f₂为修正后的理论计算频率,f₃为有限元模拟频率,Δf₁，Δf₂分别为纵振动频率及修正后的理论频率与有限元模拟结果的百分误差.

由表 1可以得出,当径长比R₁/l较小时,其理论频率值和有限元模拟值的差异较小,若其径长比增大,则误差也随之增大.通过能量法修正后的值比一维理论值更接近于有限元模拟值,误差比较可以看出,修正后的频率误差相对较小.但在其径长比超出一定的范围时,其修正后的值与模拟仿真值之间的误差也比较大.所以当径长比超出一定值时,瑞利近似理论将不再适用.文中在有限元模态分析中发现当R₁>66.67mm，即径长比大于0.5时,得到的振动模态中伴随有弯曲振动,当R₁再增大时,其弯曲振动及扭转振动所呈现的效果将越明显,此时瑞利能量法的近似理论不再适用.当取R₁=60 mm 时,没有发现明显的弯曲振动或者扭转振动的现象,因此取径长比R₁/l<0.5.

4 结束语

通过瑞利能量法对大尺寸抛物线形变幅杆的共振频率进行修正,得出了大尺寸抛物线形变幅杆的纵振频率修正公式.对比分析可知,考虑横向振动的影响，修正后的结果比一维理论值更接近有限元模拟值,且变幅杆的尺寸越大其修正的效果越明显.但当径长大于0.5时瑞利近似理论不再适用.其结果为超声加工振动系统的设计及频率调节提供参考依据.