引言

1843年, 爱尔兰数学家汉密尔顿在将复数推广到更高维数时提出了四元数的概念.四元数在计算机科学和量子力学等领域起着重要的作用.因为四元数能表示四维空间中的量, 因而也常用于机械视觉以及视频游戏和控制航天器中^[1-2].

近年来, 四元数问题备受学者关注并得到广泛研究^[3-7].而研究四元数和四元数矩阵的主要问题就是四元数乘积的不可交换性^[8-9].一个四元数问题的结果、解决方案或结论与复数情况时有很大不同^[10-12].例如, 对于复数矩阵不区分左、右特征值, 实际上它们是相等的.而对于四元数矩阵就要分别讨论其左、右特征值, 在一般的情况下它们区别很大.文献[8]中的四元数矩阵的一个左特征值不是它的右特征值且四元数矩阵的左右特征值的个数不相等.

文献[13-17]给出的适用于2×2四元数矩阵的所有左特征值的圆盘定理, 在大多数情况下并不适用于右特征值；而给出的适用于四元数矩阵右特征值的圆盘定理并不能包含四元数矩阵的所有右特征值, 只是说明由所有右特征值构成的集合与n个圆盘的并集有交集.本文在此基础上, 加上一个条件, 使得满足条件的四元数矩阵的所有右特征值都在n个圆盘的并集内, 得到一个应用范围更广的结论.

1 预备知识

一般地, C、R分别表示复数集、实数集.设四元数集

$ H = \left\{ {{a_0} + {a_1}{\rm{i + }}{a_2}{\rm{j + }}{a_3}{\rm{k:}}{a_0}, {a_1}, {a_2}, {a_3} \in {\bf{R}}} \right\}, $

其中i²=j²=k²=ijk=-1.

设A=(a_ij)∈H^n×n, 记${{R}_{i}}=\sum\limits_{j=1, j\ne i}^{n}{\left| {{a}_{ij}} \right|}, {{C}_{i}}=\sum\limits_{j=1, j\ne i}^{n}{\left| {{a}_{ji}} \right|}$.

定义1^[8]   设q=q₀+q₁i+q₂j+q₃k∈H, 称q₀为四元数q的实部, 记作Req=q₀; 称q₁i+q₂j+q₃k为四元数q的虚部, 记作Imq=q₁i+q₂j+q₃k; 称q₀-q₁i-q₂j-q₃k为四元数q的共轭, 记作q^*或者q.

定理1^[8]  设x为任意四元数, 那么有

(1) x的范数$\left| x \right|=\sqrt{tq_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}} $, 此时有|x|=|x^*|, xx^*=x^*x.若|x|=1, 称x为单位四元数.

(2) x^*=x当且仅当x∈ R.

(3) x∈H, 有ax=xa当且仅当a∈ R.

(4) 若x≠0, 称x^*/|x|²为x的逆, 记作x^-1, 且|x^-1|=1/|x|.

(5) 任意的四元数x可以被写成x=a₁+a₂j, 其中a₁, a₂∈ C.

定义2^[8]   对于两个四元数x, y, 如果存在一个非零四元数q, 使得q^-1xq=y, 则称x与y是相似的, 记作x~y.

记所有与x相似四元数组成的集合为[x], 称为[x]的相似类.若x与y相似, 则有|x|=|y|.

定理2^[8]   设x=x₀+x₁i+x₂j+x₃k∈H, y=y₀+y₁i+y₂j+y₃k∈H, 那么x与y相似当且仅当x₀=y₀和$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2} $, 即Rex=Rey和|Imx|=|Imy|.

例如, i与-j相似, 存在q=i-j, 使得-j=q^-1xq, 则有-j∈[i].

特别地, 对于任意四元数x, x与x^*相似.

定义3^[8]   设A=(a_ij)∈H^n×n, A可以写成A=A₁+ A₂j, A₁, A₂∈C^n×n, 称φ_A为四元数矩阵A的复伴随矩阵.其中

$ {\phi _\mathit{\boldsymbol{A}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{A}}_1}}&{{\mathit{\boldsymbol{A}}_2}}\\ { - \overline {{\mathit{\boldsymbol{A}}_2}} }&{\overline {{\mathit{\boldsymbol{A}}_1}} } \end{array}} \right). $

定义4^[8]   设A=(a_ij)∈H^n×n, 对于一个四元数λ, 如果存在一个非零四元数列向量Y=(y₁, y₂, …, y_n)^T, 使得AY=Yλ, 则称λ为矩阵A的一个右特征值.

特别地, 若λ是矩阵A的一个右特征值, 则 q∈[λ]也是A的右特征值.

引理1^[13]   设A=(a_ij)∈H^n×n, 对于矩阵A的每一个右特征值λ, 都存在一个四元数q, 使得q^-1λq在n个圆盘{z∈H:|z-a_ii|≤R_i(A)}的并集内, 即$ \left\{ {{q}^{-1}}\lambda q:0\ne q\in H \right\}\cap \underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\cup }}}\, \left\{ z\in H:\left| z-{{a}_{ii}} \right|\le {{R}_{i}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right) \right\}\ne \varnothing $.

2 主要结论及证明

定理3   设A=(a_ij)∈H^n×n, 对于矩阵A的每一个右特征值λ, 若有η∈[λ]使得|λ-a_ii|=|η-a_ii|, 则有λ在n个圆盘{z∈H:|z-a_ii|≤R_i(A)}, i=1, 2, …, n的并集内, 即${{\rho }_{r}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right)\subset \underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\cup }}}\, \left\{ z\in H:\left| z-{{a}_{ii}} \right|\le {{R}_{i}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right) \right\} $, 其中ρ_r(A) 为矩阵A的所有右特征值组成的集合.

证明   令λ为A的任意一个右特征值, 0≠X=(x₁, x₂, …, x_n)^T∈H^n×1是对应于λ的特征向量, 即AX=Xλ.设|x_t|=max|x_i|, i=1, 2, …, n, 则有|x_t|≠0.若存在η, 使得ηx_t=x_tλ, 就有η∈[λ].因此由AX=Xλ得

$ {a_{tt}}{x_t} + \sum\limits_{j = 1, j \ne t}^n {{a_{tj}}{x_j} = {x_t}\lambda }, $

则有

$ \left( {\eta - {a_{tt}}} \right){x_t} = \sum\limits_{j = 1, j \ne t}^n {{a_{tj}}{x_j}}, $

从而有

$ \left| {\eta - {a_{tt}}} \right|\left| {{x_t}} \right| = \left| {\sum\limits_{j = 1, j \ne t}^n {{a_{tj}}{x_j}} } \right| \le \sum\limits_{j = 1, j \ne t}^n {\left| {{a_{tj}}} \right|\left| {{x_j}} \right|}, $

因此

$ \left| {\eta - {a_{tt}}} \right| \le \sum\limits_{j = 1, j \ne t}^n {\left| {{a_{tj}}} \right|} . $

又由|λ-a_ii|=|η-a_ii|得

$ \left| {\lambda - {a_{tt}}} \right| = \left| {\eta - {a_{tt}}} \right| \le \sum\limits_{j = 1, j \ne t}^n {\left| {{a_{tj}}} \right|} = {R_t}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right). $

由λ及t的任意性知, ${{\rho }_{r}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right)\subset \underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\cup }}}\, \left\{ z\in H:\left| z-{{a}_{ii}} \right|\le {{R}_{i}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right) \right\} $.

推论1   设A=(a_ij)∈H^n×n, 且a_ii∈R, 则对于A的任意一个右特征值λ都在n个圆盘{z∈H:|z-a_ii|≤R_i(A)}, i=1, 2, …, n的并集内, 即${{\rho }_{r}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right)\subset \underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\cup }}}\, \left\{ z\in H:\left| z-{{a}_{ii}} \right|\le {{R}_{i}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right) \right\} $.

证明   设λ是矩阵A的任意一个右特征值, 则对于任意一个四元数γ∈[λ].由定理2得, Reλ=Reγ, |Imλ|=|Imγ|从而总有|λ-a_ii|=|γ-a_ii|.由定理3可得, 总存在一个t, 1≤t≤n, 使得|λ-a_tt|≤R_t(A).由λ的任意性得, $ {{\rho }_{r}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right)\subset \underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\cup }}}\, \left\{ z\in H:\left| z-{{a}_{ii}} \right|\le {{R}_{i}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right) \right\}$.

推论2   设A=(a_ij)∈H^n×n, 若矩阵A的每一个右特征值λ, 都有λ∈R, 则有$ {{\rho }_{r}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right)\subset \underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\cup }}}\, \left\{ z\in H:\left| z-{{a}_{ii}} \right|\le {{R}_{i}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right) \right\}$.

证明   若矩阵A的每一个右特征值λ, 都有λ∈R, 则 γ∈[λ], 都有|λ-a_ii|=|γ-a_ii|.因此由定理4知结论成立.

注   推论1与推论2为定理3的两个特殊情况.定理3给出了能包含四元数矩阵所有右特征值的一个集合，比文献[13]中定理7的结论更好.

定义5^[18]   对于两个矩阵A∈H^n×n和B∈H^n×n, 如果存在P∈H^n×n, 使得A=P^-1 BP, 则称A与B相似, 记作A ≈ B.

引理2^[18]   设A∈H^n×n, 则有A ≈ A^*.

引理3^[18]   设A∈H^n×n和B∈H^n×n, 若A与B相似, 则它们有一样的右特征值.

由上面的引理, 可得如下定理.

定理4   设A=(a_ij)∈H^n×n, 若对于矩阵A的每一个右特征值λ, 存在η∈[λ], 且有$\left| \lambda -\overline{{{a}_{ii}}} \right|=\left| \eta -\overline{{{a}_{ii}}} \right|$, 则有$\left\{ z\in H:\left| z-\overline{{{a}_{ii}}} \right|\le {{C}_{i}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right) \right\},i=1,2\cdots ,n$的并集内, 即$ {{\rho }_{r}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right)\subset \underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\cup }}}\, \left\{ z\in H:\left| z-\overline{{{a}_{ii}}} \right|\le {{C}_{i}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right) \right\}$.

证明   设λ为A的任意一个右特征值, 由引理2和引理3知, λ也为A^*的一个右特征值.设0≠X=(x₁, x₂, …, x_n)^T∈H^n×1为矩阵A^*的对应与λ的一个特征向量, 即A^*X=Xλ.令|x_t|=max|x_i|, i=1, 2, …, n, 则|x_t|≠0.于是有

$ \overline {{a_{tt}}} {x_t} + \sum\limits_{j = 1, j \ne t}^n {\overline {{a_{tj}}} {x_j}} = {x_t}\lambda . $

令ηx_t=x_tλ, η∈[λ], 则

$ \left( {\eta - \overline {{a_{tt}}} } \right){x_t} = \sum\limits_{j = 1, j \ne t}^n {\overline {{a_{tj}}} {x_j}} . $

就有

$ \left| {\eta - \overline {{a_{tt}}} } \right|\left| {{x_t}} \right| \le {C_t}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right)\left| {{x_j}} \right|, $

即

$ \left| {\eta - \overline {{a_{tt}}} } \right| \le {C_t}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right), $

由$\left| \lambda -\overline{{{a}_{ii}}} \right|=\left| \eta -\overline{{{a}_{ii}}} \right|$得

$ \left| {\lambda - \overline {{a_{tt}}} } \right| \le {C_t}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right). $

由λ, t=1, 2, …, n得$ {{\rho }_{r}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right)\subset \underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\cup }}}\, \left\{ z\in H:\left| z-\overline{{{a}_{ii}}} \right|\le {{C}_{i}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right) \right\}$.

同理可得以下结论.

推论3   设A=(a_ij)∈H^n×n, 且a_ii∈R, 则对于A的任意一个右特征值λ都在n个圆盘{z∈H:|z-a_ii|≤C_i(A)}的并集内, 即$ {{\rho }_{r}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right)\subset \underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\cup }}}\, \left\{ z\in H:\left| z-{{a}_{ii}} \right|\le {{C}_{i}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right) \right\}$.

推论4   设A=(a_ij)∈H^n×n, 若矩阵A的每一个右特征值λ, 都有λ∈R, 则有$ {{\rho }_{r}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right)\subset \underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\cup }}}\, \left\{ z\in H:\left| z-\overline{{{a}_{ii}}} \right|\le {{C}_{i}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right) \right\}$.

证明   若矩阵A的每一个右特征值λ, 都有λ∈R, 则 γ∈[λ], 都有|λ-a_ii|=|γ-a_ii|.因此由定理5知结论成立.

注   推论3和推论4为定理5的两个特殊情况.定理5给出了能包含四元数矩阵所有右特征值的一个集合比文献[18]中定理3.2的结论要好一些.

以上推论分别为定理4和定理5的特殊情况, 下面举例说明定理4和5对于一般情况仍然成立.

例1   取$ \mathit{\boldsymbol{A=}}\left( \begin{matrix} 1&j \\ i&k \\ \end{matrix} \right)$, 则

$ {\phi _\mathit{\boldsymbol{A}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&1\\ i&0&0&i\\ 0&{ - 1}&{ - i}&0\\ 0&i&{ - i}&0 \end{array}} \right). $

由det (λI-φ_A)=0得, A的右特征值为0和{q^-1(1+i)q:q∈H}.

对于一个右特征值λ=1+i, 存在η=1+j∈[λ], 使得|1+i-1|=|1+j-1|, |1+i-k|=|1+j-k|, |1+i+k|=|1+j+k|.此处R₁=1, R₂=1, C₁=1, C₂=1则有1+i∈{z∈H:|z-1|≤1}∪{z∈H: |z-k|≤1}, 1+i∈{z∈H:|z-1|≤1}∪{z∈H:|z+k|≤1}.

事实上, 对于矩阵A的任意一个非零右特征值γ, 都有Reγ=1, Imγ=1, 使得总有γ∈{z∈H:|z-1|≤1}, 从而有${{\rho }_{r}}\left( \lambda \right)\subset \underset{i=1}{\overset{2}{\mathop{\cup }}}\, \left\{ z\in H:\left| z-{{a}_{ii}} \right|\le {{R}_{i}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right) \right\} $和${{\rho }_{r}}\left( \lambda \right)\subset \underset{i=1}{\overset{2}{\mathop{\cup }}}\, \left\{ z\in H:\left| z-{{a}_{ii}} \right|\le {{C}_{i}}\left( \mathit{\boldsymbol{A}} \right) \right\} $.

可以看出, 除四元数矩阵的所有主对角线元素或者所有右特征值均为实数的特殊情况外, 对于一般的情况定理3与定理4的结论仍然成立.另外, 文献[13]中的定理7和文献[18]中的定理3.2只能说明满足条件四元数矩阵的一部分右特征值落在圆盘内(上), 而本文的结论适用于满足定理条件的四元数矩阵的所有右特征值.

3 结束语

本文对四元数矩阵的右特征值加以条件限制, 即对四元数矩阵的任意一个右特征值, 只要存在一个四元数与其相似且他们与矩阵的任意一个主对角线元素之差的模相等, 则四元数矩阵的所有右特征值都在n个圆盘的并集内.另外本文讨论的四元数矩阵的阶数是有限的, 目前只能准确地计算出2×2阶四元数矩阵的左、右特征值, 而3×3阶或者更高阶的四元数矩阵的左、右特征值的精确值计算方法还有待进一步研究.