0 引言

近年来, 对于波动方程解的爆破问题有很多研究, 其中关于非线性耦合波动方程解的存在和爆破问题已有许多结果^[1-11].然而, 对于波动方程爆破时间的研究还不是很多.爆破的准确时间一般很难确定, 因此在实践中计算出爆破时间的上、下确界具有重要意义.在关于波动方程爆破问题的文章中, 一般从结果中都可以得到爆破时间的上确界, 而下确界的确定却还没有被普遍关注.文献[12]研究了耦合波动方程, 在适当假设情况下证明了解的爆破, 并且得到了爆破时间的上确界.文献[13]研究了两类非线性波动方程爆破时间的问题, 在解爆破的前提下精确地计算出了爆破时间的下确界.文献[14]利用辅助函数在爆破的前提下得到了爆破时间的下确界.

本文考虑如下的问题

$ \left\{ \begin{array}{l} {u_{tt}} + {u_t} + {\left| {{u_t}} \right|^{m - 1}}{u_t} = {\rm{div}}\left( {{\rho _1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right)\nabla u} \right) + {f_1}\left( {u,\upsilon } \right),\;\;\;\;\left( {x,t} \right) \in \mathit{\Omega } \times \left( {0,T} \right),\\ {\upsilon _{tt}} + {\upsilon _t} + {\left| {{\upsilon _t}} \right|^{\gamma - 1}}{\upsilon _t} = {\rm{div}}\left( {{\rho _2}\left( {{{\left| {\nabla \upsilon } \right|}^2}} \right)\nabla \upsilon } \right) + {f_2}\left( {u,\upsilon } \right),\;\;\;\left( {x,t} \right) \in \mathit{\Omega } \times \left( {0,T} \right),\\ u = \upsilon = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,t} \right) \in \partial \mathit{\Omega } \times \left( {0,T} \right),\\ u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right),u\left( {x,0} \right) = {u_1}\left( x \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \mathit{\Omega },\\ \upsilon \left( {x,0} \right) = {\upsilon _0}\left( x \right),\upsilon \left( {x,0} \right) = {\upsilon _1}\left( x \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \mathit{\Omega }\mathit{.} \end{array} \right. $

(1)

其中Ω是R²中的有界区域, 且具有光滑边界∂Ω, m, γ≥1, T > 0;文章将在解爆破的前提下得到问题(1) 爆破时间的下确界.

为了获得问题(1) 解的爆破结果, 作如下假设.

(A₁) 假设f_i(·, ·):R²→R²为给定的函数, F(u, v)=a|u+v|^p+1+2b ${\left| {uv} \right|^{\frac{{p + 1}}{2}}}$, 其中a, b > 0.且满足当n=2时p≥1, f₁(u, v)=$\frac{{\partial F}}{{\partial u}}$, f₂(u, v)=$\frac{{\partial F}}{{\partial v}}$.

(A₂) 存在正常数c₀, c₁使得∀(u, v)∈R²，F(u, v) 满足

$ {c_0}\left( {{{\left| u \right|}^{p + 1}} + {{\left| \upsilon \right|}^{p + 1}}} \right) \le F\left( {u,\upsilon } \right) \le {c_1}\left( {{{\left| u \right|}^{p + 1}} + {{\left| \upsilon \right|}^{p + 1}}} \right). $

(2)

(A₃) 给定函数ρ₁, ρ₂对所有s > 0满足

$ {\rho _i}\left( s \right) \in {C^1},{\rho _i}\left( s \right) > 0,{\rho _i}\left( s \right) + 2s{{\rho '}_i}\left( s \right) > 0,{\rho _i}\left( s \right) = {b_1} + {b_2}{s^{{q_i}}},{q_i} > 0,{b_1} + {b_2} > 0. $

(3)

文章中记‖·‖_p为L^p(Ω) 的范数, 用E(t) 表示系统(1) 的能量.

1 相关定理及引理

首先给出解的局部存在性定理和解的爆破结果.

定理1^[15-16]  假设(A₁)~(A₃) 成立, 对于任意初值u₀∈W₀^2q₁+2(Ω)∩L^p+1(Ω), v₀∈ W₀^2q₂+2 (Ω)∩L^p+1(Ω) 并且u₁, v₁∈L²(Ω), 则问题(1) 存在唯一的局部弱解(u, v): u∈L^∞([0, T); W₀^2q₁+2 (Ω)∩L^p+1(Ω), v∈L^∞([0, T); W₀^2q₂+2 (Ω)∩L^p+1(Ω) u_t∈L^∞([0, T); L²(Ω)∩L^m+1(Ω×(0, T)), v_t∈L^∞[0, T); L²(Ω)∩L^r+1(Ω×(0, T)) 其中, T > 0.

定理2^[12]  假设(u, v) 时系统(1) 的解, 且满足假设(A₁)~(A₃).p > max{2q₁+1, 2q₂+1, m, r}, 初始能量E(0) < 0, 并且存在常数τ和B使得b₁q > $\frac{{B\tau }}{2}$, 其中q=max{q₁, q₂}, 而且∀u∈H₀¹(Ω), ‖u‖₂ < B‖∇u‖₂成立.则系统(1) 的解在有限时间T爆破, 且

$ T \le \frac{{1 - \alpha }}{{\gamma \alpha }}{\psi ^{\frac{\alpha }{{\alpha - 1}}}}\left( 0 \right). $

其中, 0 < α < ${\rm{min}}\left\{ {\frac{{p - m}}{{m(p + 1)}},\frac{{p - r}}{{r(p + 1)}}} \right\}$, ψ(t)=(E(t))^1-α+ε(∫_Ωuu_tdx+∫_Ωvv_tdx), ε足够小且γ为常数.

为了获得系统(1) 爆破时间的下确界, 有以下引理.

引理1^[14]  假设Ω是Rⁿ(n=2, 3) 中的有界区域, 且具有光滑边界∂Ω.如果u(x) 在Ω上满足u(x)∈C¹而且在∂Ω上u(x)=0, 则有不等式

$ \int_\mathit{\Omega } {{u^{2p}}{\rm{d}}x < \delta {{\left( {\int_\mathit{\Omega } {{{\left| {\nabla \upsilon } \right|}^2}{\rm{d}}x} } \right)}^p}} . $

其中:当n=2时, p > 1;当n=3时, 1 < p < $\frac{n}{{n - 2}}$; δ=${\left( {\frac{{n - 1}}{{{n^{3/2}}}}} \right)^{2p}}{\left| \mathit{\Omega} \right|^{1 - \frac{{n{\rm{ }} - 2}}{n}p}}$.

2 主要结果及证明

定理3  假设u(t) 是系统(1) 的解, 且u(t) 在有限时间T爆破, 则

$ T \ge \int_{G\left( 0 \right)}^\infty {\frac{{{\rm{d}}y}}{{\frac{{p + 1}}{2}\delta {{\left( {2{c_2}E\left( 0 \right) + 2{c_2}{c_1}y} \right)}^p} + E\left( 0 \right) + {c_1}y}}} . $

其中

$ G\left( 0 \right) = \int_\mathit{\Omega } {\left( {{{\left| {{u_0}} \right|}^{p + 1}} + {{\left| {{\upsilon _0}} \right|}^{p + 1}}} \right){\rm{d}}x,\delta = {{\left( {\frac{1}{{{2^{3/2}}}}} \right)}^{2p}}\left| \mathit{\Omega } \right|} . $

证明  首先, 对系统(1) 的前两个等式两边分别同乘u_t与v_t，并且在Ω上积分，得

$ \int_\mathit{\Omega } {\left( {{u_{tt}}{u_t} + {u_t}{u_t} + {{\left| {{u_t}} \right|}^{m - 1}}{u_t}{u_t}} \right){\rm{d}}x} = \int_\mathit{\Omega } {\left( {{\rm{div}}\left( {{\rho _1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right)\nabla u} \right){u_t} + {f_1}\left( {u,\upsilon } \right){u_t}} \right){\rm{d}}x} , $

(4)

$ \int_\mathit{\Omega } {\left( {{\upsilon _{tt}}{\upsilon _t} + {\upsilon _t}{\upsilon _t} + {{\left| {{\upsilon _t}} \right|}^{m - 1}}{\upsilon _t}{\upsilon _t}} \right){\rm{d}}x} = \int_\mathit{\Omega } {\left( {{\rm{div}}\left( {{\rho _1}\left( {{{\left| {\nabla \upsilon } \right|}^2}} \right)\nabla \upsilon } \right){\upsilon _t} + {f_1}\left( {u,\upsilon } \right){\upsilon _t}} \right){\rm{d}}x} . $

(5)

则式(4) 等号右边第一项可化简为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_\mathit{\Omega } {\left( {{\rm{div}}\left( {{\rho _1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right)\nabla u} \right){u_t}{\rm{d}}x = } \right.} \int_{\partial \mathit{\Omega }} {{\rho _1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right)\nabla u \cdot \mathit{\boldsymbol{v}} \cdot {u_t}{\rm{d}}} \mathit{\Gamma } - \int_\mathit{\Omega } {{\rho _1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right)\nabla u\nabla {u_t}{\rm{d}}x} = }\\ { - \int_\mathit{\Omega } {{\rho _1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right)\nabla u\nabla {u_t}{\rm{d}}x} .} \end{array} $

其中, ν为边界的外法向量.令P_i=$\int_0^s {{\rho _i}} $(ξ) dξ, s≥0, i=1, 2, 则有

$ \int_\mathit{\Omega } {{\rho _1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right)\nabla u\nabla {u_t}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\int_\mathit{\Omega } {{P_1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right){\rm{d}}x} . $

同理,

$ \int_\mathit{\Omega } {{\rho _2}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right)\nabla u\nabla {u_t}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\int_\mathit{\Omega } {{P_2}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right){\rm{d}}x} . $

所以, 式(4)~(5) 可化简为

$ \frac{1}{2}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\int_\mathit{\Omega } {{{\left| {{u_t}} \right|}^2}{\rm{d}}x} + \int_\mathit{\Omega } {{u_t}{u_t}{\rm{d}}x} + \int_\mathit{\Omega } {{{\left| {{u_t}} \right|}^{m - 1}}{u_t}{u_t}{\rm{d}}x} = - \frac{1}{2}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\int_\mathit{\Omega } {{P_1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right){\rm{d}}x} + \int_\mathit{\Omega } {\frac{{\partial F}}{{\partial u}}{u_t}{\rm{d}}x} , $

(6)

$ \frac{1}{2}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\int_\mathit{\Omega } {{{\left| {{\upsilon _t}} \right|}^2}{\rm{d}}x} + \int_\mathit{\Omega } {{\upsilon _t}{\upsilon _t}{\rm{d}}x} + \int_\mathit{\Omega } {{{\left| {{\upsilon _t}} \right|}^{\gamma - 1}}{\upsilon _t}{\upsilon _t}{\rm{d}}x} = - \frac{1}{2}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\int_\mathit{\Omega } {{P_1}\left( {{{\left| {\nabla \upsilon } \right|}^2}} \right){\rm{d}}x} + \int_\mathit{\Omega } {\frac{{\partial F}}{{\partial \upsilon }}{\upsilon _t}{\rm{d}}x} . $

(7)

将式(6) 与式(7) 相加, 整理可得

$ \begin{array}{l} \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{1}{2}\left\| {{u_t}} \right\|_2^2 + \frac{1}{2}\left\| {{\upsilon _t}} \right\|_2^2 + \frac{1}{2}\int_\mathit{\Omega } {\left( {{P_1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right) + {P_2}\left( {{{\left| {\nabla \upsilon } \right|}^2}} \right)} \right){\rm{d}}x} - \int_\mathit{\Omega } {F\left( {u,\upsilon } \right){\rm{d}}x} } \right) = \\ - \int_\mathit{\Omega } {{u_t}{u_t}{\rm{d}}x} - \int_\mathit{\Omega } {{{\left| {{u_t}} \right|}^{m - 1}}{u_t}{u_t}{\rm{d}}x} - \int_\mathit{\Omega } {{\upsilon _t}{\upsilon _t}{\rm{d}}x} + \int_\mathit{\Omega } {{{\left| {{\upsilon _t}} \right|}^{\gamma - 1}}{\upsilon _t}{\upsilon _t}{\rm{d}}x} . \end{array} $

所以可以得到能量及其导数的表达式, 即

$ E\left( t \right) = \frac{1}{2}\left( {\left\| {{u_t}} \right\|_2^2 + \left\| {{\upsilon _t}} \right\|_2^2} \right) + \frac{1}{2}\int_\mathit{\Omega } {\left( {{P_1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right) + {P_2}\left( {{{\left| {\nabla \upsilon } \right|}^2}} \right)} \right){\rm{d}}x} - \int_\mathit{\Omega } {F\left( {u,\upsilon } \right){\rm{d}}x} , $

(8)

$ \frac{{{\rm{d}}E\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}} = E'\left( t \right) = - \int_\mathit{\Omega } {{u_t}{u_t}{\rm{d}}x} - \int_\mathit{\Omega } {{{\left| {{u_t}} \right|}^{m - 1}}{u_t}{u_t}{\rm{d}}x} - \int_\mathit{\Omega } {{\upsilon _t}{\upsilon _t}{\rm{d}}x} + \int_\mathit{\Omega } {{{\left| {{\upsilon _t}} \right|}^{\gamma - 1}}{\upsilon _t}{\upsilon _t}{\rm{d}}x} . $

(9)

由式(9) 得

$ \frac{{{\rm{d}}E\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}} < 0, $

则

$ E\left( t \right) \le E\left( 0 \right). $

(10)

所以由式(8) 和式(10) 可得

$ E\left( 0 \right) + \int_\mathit{\Omega } {F\left( {u,\upsilon } \right){\rm{d}}x} \ge \frac{1}{2}\left( {\left\| {{u_t}} \right\|_2^2 + \left\| {{\upsilon _t}} \right\|_2^2} \right) + \frac{1}{2}\int_\mathit{\Omega } {\left( {{P_1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right) + {P_2}\left( {{{\left| {\nabla \upsilon } \right|}^2}} \right)} \right){\rm{d}}x} . $

(11)

接下来设辅助函数为

$ G\left( t \right) = \int_\mathit{\Omega } {\left( {{{\left| u \right|}^{p + 1}} + {{\left| \upsilon \right|}^{p + 1}}} \right){\rm{d}}x} , $

则关于t求导可得

$ G'\left( t \right) = \left( {p + 1} \right)\int_\mathit{\Omega } {\left( {{{\left| u \right|}^p}{u_t} + {{\left| \upsilon \right|}^p}{\upsilon _t}} \right){\rm{d}}x} . $

利用Cauchy不等式得

$ G'\left( t \right) \le \frac{{\left( {p + 1} \right)}}{2}\left( {\int_\mathit{\Omega } {{{\left| u \right|}^{2p}}{\rm{d}}x} + \int_\mathit{\Omega } {{{\left| {{u_t}} \right|}^2}{\rm{d}}x} + \int_\mathit{\Omega } {{{\left| \upsilon \right|}^{2p}}{\rm{d}}x} + \int_\mathit{\Omega } {{{\left| {{\upsilon _t}} \right|}^2}{\rm{d}}x} } \right). $

由式(11) 可得

$ G'\left( t \right) \le \frac{{\left( {p + 1} \right)}}{2}\left( {\int_\mathit{\Omega } {{{\left| u \right|}^{2p}}{\rm{d}}x} + \int_\mathit{\Omega } {{{\left| \upsilon \right|}^{2p}}{\rm{d}}x} } \right) + E\left( 0 \right) + \int_\mathit{\Omega } {F\left( {u,\upsilon } \right){\rm{d}}x} . $

再利用引理1可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {G'\left( t \right) \le \frac{{\left( {p + 1} \right)}}{2}\delta \left( {{{\left( {\int_\mathit{\Omega } {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} {\rm{d}}x} \right)}^p} + {{\left( {\int_\mathit{\Omega } {{{\left| {\nabla \upsilon } \right|}^2}} {\rm{d}}x} \right)}^p} + E\left( 0 \right) + \int_\mathit{\Omega } {F\left( {u,\upsilon } \right){\rm{d}}x} \le } \right.}\\ {\frac{{\left( {p + 1} \right)}}{2}\delta {{\left( {\int_\mathit{\Omega } {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} {\rm{d}}x + \int_\mathit{\Omega } {{{\left| {\nabla \upsilon } \right|}^2}} {\rm{d}}x} \right)}^p} + E\left( 0 \right) + \int_\mathit{\Omega } {F\left( {u,\upsilon } \right){\rm{d}}x} .} \end{array} $

(12)

由式(3) 可知, 存在一个常数c₂使得

$ {c_2}\int_0^s {{\rho _i}\left( \xi \right){\rm{d}}\xi } \ge s $

成立，即

$ {c_2}{P_i}\left( s \right) \ge s, $

所以有

$ {c_2}{P_1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right) \ge {\left| {\nabla u} \right|^2},{c_2}{P_2}\left( {{{\left| {\nabla \upsilon } \right|}^2}} \right) \ge {\left| {\nabla \upsilon } \right|^2}. $

(13)

将式(13) 代入式(12) 可得

$ G'\left( t \right) \le \frac{{\left( {p + 1} \right)}}{2}\delta {\left( {\int_\mathit{\Omega } {{c_2}{P_1}\left( {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}} \right){\rm{d}}x} + \int_\mathit{\Omega } {{c_2}{P_2}\left( {{{\left| {\nabla \upsilon } \right|}^2}} \right){\rm{d}}\upsilon } } \right)^p} + E\left( 0 \right) + \int_\mathit{\Omega } {F\left( {u,\upsilon } \right){\rm{d}}x} . $

再由式(11) 可得

$ G'\left( t \right) \le \frac{{\left( {p + 1} \right)}}{2}\delta {\left( {2{c_2}E\left( 0 \right) + 2{c_2}\int_\mathit{\Omega } {F\left( {u,\upsilon } \right){\rm{d}}x} } \right)^p} + E\left( 0 \right) + \int_\mathit{\Omega } {F\left( {u,\upsilon } \right){\rm{d}}x} . $

根据式(2) 可以得到

$ \begin{array}{l} G'\left( t \right) \le \frac{{\left( {p + 1} \right)}}{2}\delta {\left( {2{c_2}E\left( 0 \right) + 2{c_2}{c_1}\left( {{{\left| u \right|}^{p + 1}} + {{\left| \upsilon \right|}^{p + 1}}} \right)} \right)^p} + E\left( 0 \right) + {c_1}\left( {{{\left| u \right|}^{p + 1}} + {{\left| \upsilon \right|}^{p + 1}}} \right) \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{\left( {p + 1} \right)}}{2}\delta {\left( {2{c_2}E\left( 0 \right) + 2{c_2}{c_1}G\left( t \right)} \right)^p} + E\left( 0 \right) + {c_1}G\left( t \right). \end{array} $

(14)

因为$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to T^- } $G(t)=∞, 所以由式(14) 可以得到

$ T \ge \int_{G\left( 0 \right)}^\infty {\frac{{{\rm{d}}y}}{{\frac{{p + 1}}{2}\delta {{\left( {2{c_2}E\left( 0 \right) + 2{c_2}{c_1}y} \right)}^p} + E\left( 0 \right) + {c_1}y}}} . $

证毕.

3 结束语

计算波动方程解爆破时间的下确界的关键是G(t) 的选取以及得到最终的微分不等式.而且G(t) 一定要是非线性的, 否则会与前面的爆破结果相矛盾, 而利用引理中的方法就可保证G(t) 非线性.本文尽可能使得爆破时间的下确界更精确, 但由于技术和方法的局限, 求解爆破时间的更为精确的方法还有待进一步研究.